kongruencje hugo: Wyznaczyć wszystkie całkowite, nieujemne liczby n, dla których liczba A=9*2²ⁿ+1 jest liczbą pierwszą Mógłbym prosić o jakąś wskazówkę?

hugo: Halo

Vax: n=0 i n=1 spełniają tezę. Dla n > 1 mamy 2²ⁿ = 1 (mod 5), więc 9*2²ⁿ+1 = 0 (mod 5) i ta liczba jest różna od 5, więc nie jest liczbą pierwszą.

sinus: >wskazówka< nie ma za co. pozdrawiam

hugo: Jedno pytanko dlaczego akurat (mod 5) tzn. rozumiem jak to działa i w ogóle, tylko dlaczego akurat 5, skąd?

hugo: dla (mod 1) pewnie − pierwszy dzielnik, dla (mod 2) zawsze się podzieli bez reszty, dla (mod 3) też, dla (mod 4) to samo co dla (mod 2), więc dlatego robie z (mod 5)?

hugo: Vax albo ktoś?

Vax: Przecież mod 2 ta liczba zawsze jest równa 1 a nie 0. Działamy mod 5, gdyż to nas doprowadzi do rozwiązania, tj dla każdego n > 1 to wyrażenie jest podzielne przez 5 i różne od 5, a że ma być liczbą pierwszą to sprzeczność. To, czemu wzięliśmy mod 5 to kwestia obycia w takich zadaniach, ewentualnie możemy wypisać parę kolejnych tych liczb dla n=0,1,2,3 i zobaczyć, że dla n=0,1 mamy liczbę pierwszą a dla pozostałych dostajemy liczby podzielne przez 5, stawiamy hipotezę, że dla n>1 są same podzielne przez 5 i ją dowodzimy

hugo: Rozumiem o co ci chodzi z tą dwójką, tylko miałem na myśli, że wychodzimy od 2²ⁿ i przekształcamy dlatego ten modzik nie pasuje. Zastanawiałem się też czy po prostu nie łatwiej jest zrobić na mod 5 ponieważ 2⁴=16 więc to podnoszone do kwadratu zawsze bedzie dawało resztę 1. Czyli w zasadzie muszę to w pewien sposób wyczuć ?

Vax: Wyuczyć to złe słowo, powiedziałbym nabrać intuicji A co do 2²ⁿ to mamy 2²ⁿ = 4²ⁿ⁻¹ = (−1)²ⁿ⁻¹ = 1 (mod 5) o ile n>1

hugo: O to mi chodziło, że z jedynką zawsze lepiej. Dzięki za pomoc!