Całka krzywoliniowa - brzeg kwadratu Cauchy: Mam pytanie odnosnie calki krzywoliniowej, a mianowicie chodzi mi o przyklad: Oblicz ∫ xy dl, gdzie L jest brzegiem kwadratu |x| + |y| ≤ 1 L Wyszly cztery proste, nastepnie calkowalam po kazdym boku i po zsumowaniu calek wyszlo 0. Czy moglo tak wyjsc, czy pomylilam sie w rachunkach? Jesli nie, to dlaczego tak wyszlo? Po prostu przez symetrie ?

ZKS: 2 * ∫¹₀ ∫^{x + 1}_{1 − x} xydxdy = ∫¹₀ (x(x + 1)² − x(1 − x)²)dx =

	4
= ∫10 4x2dx =
	3

Nie wiem czy dobrze ale mi coś takiego wyszło.

Cauchy: Niestety nie mam odpowiedzi Mi nie pasuje, zeby wynik wyniosl 0 , wiec raczej Ty masz racje.

ZKS: Można sprawdzić. Bok kwadratu wynosi √2 więc jego pole musi wynieś √2 * √2 = 2 Licząc całkę muszę otrzymać wynik 2. 2 * ∫¹₀ ∫^{x − 1}_{1 − x}dxdy = 2 * ∫¹₀ y|^{x − 1}_{1 − x}dx =

	x2
2 * ∫10 [(x − 1) − (1 − x)]dx = 2 * ∫10 2xdx = 4 * ∫10xdx = 4 *		|10 =
	2

	1
4 *		= 2
	2

Ale lepiej żeby ktoś potwierdził bo 100% pewności nie mam za tamten wynik.

Max: Robilam tak samo z trojkatem (rownania 3 prostych) i 3 calki, po zsumowaniu wyszlo dobrze, z prostokatem to samo, ale z tym kwadratem wszystko sie zeruje ... A(0,−1); B(1,0); C(0,1); D(−1,0) AB: y=x−1 dl=√2dx

	√2		√2
√2∫ x(x−1)dx=		−		, przedzialy calkowania <0,1>
	3		2

BC: y=−x+1 dl=√2dx

	√2		√2
√2∫ x(−x+1)dx= −		+		, przedzialy calkowania <0,1>
	3		2

CD: y=x+1 dl=√2dx

	√2		√2
√2∫ x(x+1)dx=		−		, przedzialy calkowania <−1,0>
	3		2

AD: y=−x−1 dl=√2dx

	√2		√2
√2∫ x(−x−1)dx= −		+		, przedzialy calkowania <−1,0>
	3		2

Po zsumowaniu wychodzi 0 ...

ZKS: Nie wiem czemu ja sobie ubzdurałem że tam są dwie całki.

ZKS:

√2		√2		√2		√2
	−		< 0 ⇒		−
3		2		2		3

√2		√2		√2		√2		√2		√2
	−		+		−		+		−		+
2		3		2		3		2		3

√2		√2		4√2		2√2
	−		= 2√2 −		=
2		3		3		3

ZKS: Zeruje się bo masz dwa razy tak że wykres jest pod osią OY i trzeba wtedy zmienić znaki.