liczby zespolone maciej: Wyznaczenie postaci trygonometrycznej: a) −6 + 6i b) 2i c) 2√2 + i Jakieś wskazówki ?

Aga1.: Wzór znasz?

asdf: z = −6 + 6i z = a + bi a = −6 b = 6 z = |z| (cosφ + i sinφ) 1^o wyznaczamy moduł: |z| = √a² + b² 2^o Wyznaczamy kąt φ, czyli kąt między osią rzędnych − osią liczb rzeczywistych

	wartość rzeczywista (a)
cosφ =		= ...
	|z|

	wartość urojona (b)
sinφ =		= ...
	|z|

wyznaczaj

Aga1.: x− oś odciętych y− oś rzędnych

maciej: Czyli podajemy to w formie sin i cos? A jak zrobić coś takiego: Wykaż, że dla ∀(z ∊ ℂ ⋀ z ≠ 0) ∃ w ∊ C które jest odwrtonością z, czyli zachodzi z * w = 1. ? Trzeba jakiś układ równań ułożyć tylko jaki? Mógłby ktoś wytłumaczyć?

ZKS: Wiesz co to jest odwrotność liczby? Jak zapisał byś odwrotność liczby 2?

maciej:

1
	* 2 = 1
2

ZKS: Tak.

maciej: z = a + bi w = c + di z * w = 1

	1
z *		= 1
	z

	1
w =		?
	z

jak to zapisać?

ZKS: Skoro w jest odwrotnością z to

	1
w =
	z

Studiujesz matematykę?

maciej: nie

⎧	c + di = 1 / a + bi
⎩	(a + bi) * (c + di) = 1

zapewne o ten układ nie chodziło?

ZKS: A czemu miało by nie chodzić o taki układ?

Mila: (a+bi)(c+di)=1 ac−bd+(ad+bc)i=1 ac−bd=1 i ad+bc=0 wyznacz c i d w zależności od a i b wynik :

	a−bi
w=z−1=
	a2+b2

maciej: bo trochę nie ma sensu

	1
(i) a + bi =
	c + di

	1
c + di =
	1   (i)   c + di

c + di = c + di 0 = 0 L = P o to chodziło?

maciej: Czyli Mila − to co napisałem jest bezsensu? Bo miałbyć dowód?

Mila: Spróbuj zrobić, jak Ci napisałam, to wyjdzie. Jutro podyskutujemy. Może ZKS ma inny sposób niż podałam. Dobranoc wszystkim.

asdf: ac − bd = 1 ad + bc = 0 ad = −bc d = U{−bc]{a}

	bc
ac + b		= 1
	a

a²c + b²c = 1 c(a² + b²) = 1 c = 1 a² = −b² a = −b d = c Mi takie coś wyszło, ale pewnie mam źle...

asdf: już widzę błąd, nie ma co czytać..

ZKS: Twój sposób Mila ciekawy i innego raczej nie podam.

maciej: dlaczego przyrównujemy wpierw do 1 a potem do 0?

AC: może tak z*w =1

	1
|z|eiφ * w =1 ⇒ w =		e−iφ
	|z|

maciej: gdybym z tego zapisu coś rozumiał ...

asdf: część rzeczywista musi byc rowna rzeczywistej, a urojona urojonej

ZKS: |z|e^iφ = |z|(cos(φ) + isin(φ)) Jest to postać wykładnicza liczby zespolonej.

ZKS: Sposób który podała Mila.

	1 + bd
{ ac − bd = 1 ⇒ c =
	a

	bc
{ad + bc = 0 ⇒ d = −
	a

	bc   1 − * b   a		a − b2c
c =		⇒ c =		⇒ ca2 + b2c = a ⇒ c(a2 + b2) = a
	a		a2

	a
c =
	a2 + b2

	1 + bd   b *   a		b + b2d
d = −		⇒ d = −		⇒ da2 + b2d = −b ⇒ d(a2 + b2) = −b
	a		a2

	b
d = −
	a2 + b2

a		b		a − bi
	− i		=
a2 + b2		a2 + b2		a2 + b2

ZKS: I dalej udowodnienie że jest to liczba odwrotna.

a − bi		a − bi		1
	=		=
a2 + b2		(a + bi)(a − bi)		a + bi

maciej: i to koniec dowodu? Jeżeli tak to dlaczego, jeśli mógłbyś wytłumaczyć i dziękuję za poświęcony czas.

ZKS:

	1
Mieliśmy udowodnić że w =		gdzie z = a + bi.
	z

maciej: Ok, to już rozumiem więc czy dobrze mam: a) −6 + 6i z = a + bi a = −6 ⋀ b = 6i |z| = √a² + b² ⇒ |z| = √36 + 36 = √72 = 6√2 z = |z| (cosφ + isinφ)

	6		1		√2
sinφ =		=		=
	6√2		√2		2

	−6		−1		√2
cosφ =		=		= −
	6√2		√2		2

	√2		√2
z = 6√2 * ( −		+ i *		)
	2		2

O to chodziło?

maciej:

maciej: proszę o pomoc