liczby zesplone
artur: Liczby zespolone Jak udowodnić nierówność trójkąta dla liczb zespolonych?
a) |z + w| < |z| + |w|
b) |z − w| ≥ ||z| − |w||
12 paź 17:24
artur: Proszę o pomoc.
12 paź 17:44
Godzio:
Pokażemy najpierw: |1 + z| ≤ 1 + |z|
z = x + iy
Będzie nam potrzebne:
____ __ __
|z
1 * z
2|
2 = z
1z
2 * z
1z
2 = z
1z
2 * z
1z
2 = |z
1|
2 + |z
2|
2
|x| ≤ z (to chyba oczywiste)
____
|1 + z|
2 = (1 + z)(1 + z) = 1 + 2x + |z|
2 ≤ 1 + 2|z| + |z|
2 = (|z| + 1|)
2, z tego mamy
tezę.
|z + w| ≤ |z| + |w|
Dowód:
z ≠ 0 (dla z = 0 oczywiste)
| | w | | w | | w | |
|z + w| = |z * (1 + |
| ) | = |z| * |1 + |
| | ≤ |z| * (1 + | |
| |) = |
| | z | | z | | z | |
| | |w| | |
= |z| * (1 + |
| ) = |z| + |w|, co kończy dowód |
| | |z| | |
12 paź 17:46
Godzio:
Mając już nierówność trójkąta, łatwo dowieźć drugiej nierówności
⇔ − |z − w| ≤ |z| − |w| ≤ |z − w|
Teraz: |z| = |z − w + w| ≤ |z − w| + |w| ⇒ |z| − |w| ≤ |z − w|
Pomyśl, jak zrobić w drugą część nierówności (analogicznie jak pierwszą
)
12 paź 17:48
Godzio:
|z
1 * z
2|
2 = |z
1|
2 * |z
2|
2 oczywiście
12 paź 17:49
artur: A coś takiego:
|z| =
√a2 + b2 ⇔ z = a + bi
|w| =
√c2 + d2 ⇔ w = c + di
z + w = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
|z + w| =
√(a + c)2 + (b + d)2
|z + w| < |z| + |w|
√(a + c)2 + (b + d)2 <
√a2 + b2 +
√c2 + d2 /
2
a
2 + 2ac + c
2 + b
2 + 2bd + d
2 < a
2 + b
2 + c
2 + d
2
Przeszłoby?
12 paź 17:50
Godzio:
Nie (źle podnosisz do kwadratu)
12 paź 17:52
artur: |z| = √a2 + b2 ⇔ z = a + bi
|w| = √c2 + d2 ⇔ w = c + di
z + w = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
|z + w| = √(a + c)2 + (b + d)2
|z + w| = |a
|z + w| < |z| + |w|
√(a + c)2 + (b + d)2 < √a2 + b2 + √c2 + d2 /2
a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 < a2 + b2 + 2√a2 + b2 + c2 + d2 + c2 + d2
2bd + 2ac < 2√a2 + b2 + c2 + d2 /2
teraz?
12 paź 17:54
Godzio:
Próbuj dokończyć, a tak a propo, studiujesz chyba coś matematycznego, dobrze myślę
?
12 paź 17:59
artur: twój pierwszy dowód jest troszkę zbyt skomplikowany, i nie jest oczywistym dla mnie, że |x| < z
(dlaczego?)
natomiast drugi:
|z − w| ≥ ||z| − |w||
|z − w| ≥ |z| − |w| ≥ − |z − w|
1. |z − w| ≥ |z| − |w| zrobiłeś
2. |z| − |w| ≥ −|z − w| ⇒ |z| ≥ |w| − |z − w| = |w − z + z| − |z − w| ≥ (nierówność trójkąta)
≥ |w − z| + |z| − |z − w| = |z − w| + |z| − |z − w| = |z|
c.n.u.
12 paź 18:00
artur: tak
[jak dokończyć?]
12 paź 18:01
artur:
2bd + 2ac < 2
√a2 + b2 + c2 + d2 /
2
4b
d2 + 8abcd + 4a
c2 < 4a
2 + 4b
2 + 4c
2 + 4d
2
a
2 + b
2 + c
2 + d
2 − b
2 * d
2 − 2abcd − a
2 * c
2 > 0
12 paź 18:04
Godzio:
|x| ≤ |z| −− modułu zapomniałem dać, teraz jaśniej ? Czy dalej nie wiadomo ?
|z| − |w|
≤ − |z − w|, trochę za dużo napisane,
|w| = |w − z + z| ≤ |w − z| + |z| ⇒ − |z − w| ≤ |z| − |w|
i tyle
12 paź 18:06
Godzio:
No właśnie z takiej postaci ciężko coś wywnioskować
12 paź 18:07
artur: no dalej nie wiadomo skąd |x| ≤ |z| wiem, że liczby zespolone to dopełnienie rzeczywistych ale
wywnioskować z tego coś, hmm
12 paź 18:13
Godzio:
|z| = √x2 + y2 ≥ √x2 + 0 = √x2 = |x|
12 paź 18:14
artur: "|z| − |w| ≤ −|z − w| " czemu mnie poprawiasz skoro tam tak napisałeś jak ja?
12 paź 18:16
Godzio:
Sorry
Ślepy już jestem
12 paź 18:22
artur: Czyli dobrze mam? (to co pisałem − dokończenie tego drugiego). Tylko jak 1 udowodnić bo Twój
sposób trochę zbyt trudny jest.
12 paź 18:24
Godzio:
Hmmm, innego dowodu nie znam, niektóre wymagają trochę pomysłu i doświadczenia, żeby je zrobić.
Jak ja miałem to zadanie na ćwiczeniach, spory czas temu, to ćwiczeniowiec nam go pokazywał,
bo nikt nie wiedział jak ruszyć
12 paź 18:27
artur: Ale tutaj już chyba będzie ok:
T: |zw| = |z| * |w|
z * w = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i
P = |z| * |w| =
√a2 + b2 *
√c2 + d2 =
√(a2 + b2)(c2 + d2) =
= (a
2 + b
2)(c
2 + d
2)
L = |zw| =
√(ac − bd)2 + (ad + bc)2 = (ac − bd)
2 + (ad + bc)
2 = a
2c
2 − 2abcd + b
2d
2 +
a
2d
2 + 2abcd + b
2c
2 = a
2c
2 + b
2d
2 + a
2d
2 + b
2c
2 = (a
2 + b
2)(c
2 + d
2) = P
c.n.d
12 paź 18:27
Godzio:
Jest ok, ale nie jest dokończony w pełni,
|w| − |z − w| ≥ |z| ⇒ − |z − w| ≥ |z| − |w| i teraz koniec
12 paź 18:28
Godzio:
Ok, ale pierwiastki nie powinny znikać
12 paź 18:32
artur: Bo ja tam podniosłem do potęgi ale nie zapisałem tego, ale tak jest dobrze? Jeżeli tak, bo
bardzo ci dziękuję za poświecony czas
. Tylko miałbym jeszcze jedno pytanie: Wykaż, że
zachodzi |z| ≥ 0 i |z| = 0 tylko gdy z = 0.
Jak to rozpisać ?
12 paź 18:35
Godzio:
z = x + yi
|z| = √x2 + y2 ≥ 0 (pierwiastek jest zawsze nieujemny)
|z| = 0 ⇔ √x2 + y2 = 0 ⇔ x2 + y2 = 0
Suma kwadratów dwóch liczba rzeczywistych jest zawsze nieujemna, aby była zerem to obie muszą
być równe 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ z = 0
12 paź 18:39
artur: Jeszcze raz dziękuję, i powiem, że 1 da się rozwiązac moim sposobem:
2bd + 2ac < 2√(a2 + b2)(c2 + d2) / : 2
ac + bd < √(a2 + b2)(c2 + d2)
(ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2c2 − 2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 =
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2
(ac + bd)2 < (ac − bd)2 + (ad + bc)2
(ad)2 + (bc)2 − 2abcd ≥ 0
a2d2 − 2abcd + b2c2 ≥ 0
(ad − bc)2 ≥ 0
c.n.d.
12 paź 18:51