. asdf: oblicz: (1 + √3)⁷

	1		√3		7π		7π
z = 27(cos		* 7 + isin		* 7) = 27(cos		+ isin		) =
	2		2		3		3

	π		π		π		π
27(cos(2π +		) + isin(2π +		)) = 27(cos		+ isin		) =
	3		3		3		3

	1		√3
27(		+ i		) = 64 + 64√3i
	2		2

dobrze?

Krzysiek: dobrze, wolfram to samo 'mówi'.

asdf: Jak to sprawdzasz?

PuRXUTM: jak najszybciej!

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Bisqrt%283%29%29%5E7

asdf: (1 + i)²⁷:

	√2		√2		27π
z = √227(cos		* 27 + isin		* 27} = √227(cos		+
	2		2		4

	27π
isin		) =
	4

	3π		3π		3π		3π
√227(cos(6π +		+ isin(6π +		) = √227(cos		+ isin		) =
	4		4		4		4

√2²⁷(cos135^o + isin135^o) =

	√2
cos135 = cos(90 + 45) = −sin45o = −
	2

	√2
sin135 = sin(90 + 45) = cos45o =
	2

	−√2		√2
√227(		+		i) = ...co tu dalej? (i proszę o sprawdzenie czy nie ma
	2		2

błędu)

Trivial: (1+i)²⁷ = (1+i)^2*13*(1+i) = (1+2i−1)¹³(1+i) = 2¹³i*(1+i) = −2¹³+2¹³i.

asdf: a czemu i nie podnosisz do potęgi ? nie rozumiem

Trivial: Czyli masz dobrze. Trzeba wymnożyć i uprościć.

Trivial: podnoszę. Jeśli jeszcze tego nie miałeś to zadanie dla ciebie: Oblicz i^k dla wszystkich naturalnych k.

asdf: Jak nie miałeś...to to zrób...Trochę bez sensu Jeżeli czegoś nie miałem i nie wiem jak się liczy to jak mam to zrobić?

Trivial: To nie jest nic skomplikowanego, wierz mi. Wystarczy spróbować.

asdf: To jest coś takiego? dla k = 1 , i = 1 dla k = 2, i = −1 dla k = 3, i = i dla k = 4, i = 1 dla k = 5, i⁵ = i itd?

asdf: czyli dla k = 13, i = i

asdf: dla k = 7, i = −i tak?

Trivial: Tak, tylko nie można tak sobie zapisywać i = 1, i = −1 ... Poza tym dla k = 3 mamy i*i*i = i²*i = −i. Podsumowując... idzie to tak: i¹ = i i² = −1 i³ = −i i⁴ = 1 i⁵ = i i⁶ = −1 ... Nowe zadanie. Oblicz i^23984704.

ICSP: Trivial będziesz wolny tak jakoś na weekendzie ?

Trivial: ICSP, weekend zaczął się wczoraj. A czemu pytasz?

asdf: Nie znam podzielności przez liczby

ICSP: Java Będę musiał napisać parę algorytmów i gdybym miał jakieś problemy to bym Ciebie pomęczył

Trivial: ICSP, zobaczymy. Wolałbym dziś.

Trivial: asdf, interesuje Cię podzielność przez 4. http://pl.wikipedia.org/wiki/Cecha_podzielno%C5%9Bci

ICSP: Dziś staram się wymyślić jakieś fajne zadanko

asdf: A nie starczy potęgę przez dwa i zauważyć, że potęga potęgi to liczba parzysta? = 1 tak?

Trivial: Wystarczy, ale chyba prościej zauważyć jest że 04 jest podzielne przez 4.

asdf:

(3 − 3i)7
	=
(4 + 4√3)9

góra:

	√2		−√2
(3 − 3i)7 = (3√2)7(cos		*7 + isin		* 7) =
	2		2

	49π		49π		π		π
= (3√2)7(cos		+ isin		) = (3√2)7(cos		+ isin		) =
	4		4		4		4

(3√2)⁷(√2/2 + √2/2i) mianownik:

	1		√3		8π		8π
(4 + 4√3i)9 = 89(cos		*9 + isin		* 9) = 89(cos		+ isin		) =
	2		2		3		3

	2π		2π		−1		√3
89(cos		+ isin		= 89(cos120o + isin120o) = 89(		+		i)
	3		3		2		2

	1
cos120o = −sin30o = −
	2

	√3
sin120o = cos30 =
	2

dobrze? bo dzielić i tak już tego nie będę

Trivial: Czemu dzielić nie będziesz? Dzielenie to po prostu odejmowanie kątów.

asdf: Nie bardzo rozumiem Nie mam takiej wiedzy jak ty

Krzysiek: mianownik, to druga równość w argumentach powinno być 9π/3 poza tym nie pisałbym tak tego, korzystasz ze wzoru de Moivre'a gdy jeszcze nie przeszedłeś na postać trygonometryczną( pierwsze równości) z₁ =|z₁| (cosα+isinα) z₂ =|z₂|(cosβ+isinβ)

	z1		|z1|
dzielenie liczb:		=		(cos(α−β) +isin(α−β))
	z2		|z2|

asdf: Racja, w drugim mam błąd. Ale nie bardzo rozumiem, zamieniam, np. (1 + √3)⁴

	1		√3
z = 16(cos		* 4 + isin		* 4) =
	2		2

teraz patrzę w których ćw się znajdują kąty cos = +, sin = +, więc będzie to I ćwiartka. Kąt główny to:

	1		π		√3		π
cos		=		oraz sin		=
	2		3		2		3

	4π		4π		π		π
z = 16(cos		+ isin		) = 16(cos(π +		) + isin(π +		) =
	3		3		3		3

	π		1
cos(π +		) = −cos60o = −
	3		2

	π		−√3
sin(π +		) = −sin60o =
	3		2

	1		√3
16(−		−		i)
	2		2

tak jest dobrze, czy błąd gdzieś popełniam?

Krzysiek: najpierw zamieniasz na postać trygonometryczną a potem korzystasz ze wzoru de moivre'a a Ty robisz odwrotnie.

asdf: możesz pokazać to na przykładzie? Wybacz, ale wykładowca pokazywał to tak szybko, że zrozumiałem (jako tako), ale wszystkich notatek nie mam. Byłbym wdzięczny

Krzysiek: chodzi mi o to, że piszesz tak: z=16(cos(1/2)4 +isin√3/2 *4) a to nie jest postać trygonometryczna a już skorzystałeś ze wzoru de moivre'a... z=2(cos(π/3) +isin(π/3) ) czyli: z⁴ =(korzystając ze wzoru de moivre'a )=2⁴ (cos4π/3 +isin4π/3)

asdf: no tak, ja korzystam sobie z tego wzoru:

	część rzeczywista		część urojona
zn = |z|n(cos		+ isin		) dlatego tak zapisuję.
	|z|		|z|

Jest to źle?

asdf: z = 16(cos(1/2)4 + isin(√3}{2})4) = 16(cos(π/3)4 + isin(π/3)4) a tak jest prawidłowo?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre'a więc korzystając z tego wzoru (de Moivre'a) pod sin i cos powinieneś mieć taką samą wartość (φ) poza tym ten wzór jest błędny (nawet nie chodzi o brak 'n' przy argumentach sin i cos)

asdf: no to ja nie rozumiem. W zeszycie mam takie coś: zⁿ = |z|ⁿ( cos * n * Φ + isin * n * Φ) |w|ⁿ = cos * n * θ + isin * n * θ) = |z|(cosΦ + isinΦ) |w|ⁿ = |z| ⇒ |w| = ⁿ√|z| n * θ = Φ + 2kπ

	Φ + 2kπ
θ =
	n

To się nic nie ma do postu z 17³⁸ Koleś z etrapez (nauczyciel matematyki po Politechnice Poznanskiej) tak korzystał i jak robię według takich obilczeń to wychodzą mi dobre wyniki.

Krzysiek: po prostu potem robisz dobrze, ten wzór co napisałeś teraz jest dobry i z niego korzystasz popatrz się na równość w Twoim poście o 17.44 czy to jest to samo?

asdf: (−1 − √3)³ z³ = 2³(cos * 3 * Φ + isin * 3 * Φ) =

	−1
cos Φ =
	2

	−√3
sin Φ =
	2

JEST TO ĆWIARTKA III, więc:

	π		4π
cos Φ = π +		=
	3		3

	4π
sin Φ =
	3

z³ = 2³(cos 4π + isin 4π) teraz ten zapis jest prawidłowy? Jak nie to pokaż mi na jednym przykładzie, postaram się zrozumieć

Krzysiek: jest dobrze

asdf:

	1
Czyli chodzi o to, by nie pisać cos		, tylko obliczyć to na boku i dopiero wpisać do
	2

równania? Krzsiu, bo pierw piszesz, ze dobrze, pozniej ze zle...a ja się gubie..

Krzysiek: teraz jest dobrze bo najpierw zamieniasz 'z' na postać trygonometryczną (czyli znajdujesz |z| i Φ ) a potem korzystasz ze wzoru de moivre'a chyba widać, że w Twoim poście o 17.38 nie jest to postać trygonometryczna i nie ma tam Φ po drugie: popatrz się na równość w Twoim poście o 17.44 czy to jest to samo? po lewej mamy: 16(cos2 +isin2√3 )...

asdf: No właśnie...mnie też to zastanawiało: dlaczego by nie napisać odrazu cos2, tylko tak rozbijać. Rozwiałeś moje wątpliwości. Dziękuję Ci bardzo za pomoc. Ruszam dalej

adaś: ile dziennie siedzisz przy matmie asdf ?

asdf: To różnie, liczyć razem ze zajęciami?

adaś: tak sam w domu dużo poświęcasz czasu ?

asdf: nom, ale nie zmuszam się do tego, bo to lubie