Rozwiąż
Fiona:
sin3x + cos3x = 1
cosx + tgx < 1 + sinx
tg(π3 −x) − tgx =0
11 paź 08:16
11 paź 10:34
AS: Zad. 1
sin
x + cos
3x = 1
Stosuję podstawienie:
| | 2*t | | 1 − t2 | | x | |
sinx = |
| , cosx = |
| gdzie t = tg |
| |
| | 1 + t2 | | 1 + t2 | | 2 | |
| | 2*t | | 1 − t2 | |
( |
| )3 + ( |
| )3 = 1 |
| | 1 + t2 | | 1 + t2 | |
8*t
3 + (1 − t
2)
3 = (1 + t
2)
3 po uporządkowaniu
2*t
6 − 8*t
3 + 6*t
2 = 0
2*t
2*(t
4 − 4*t + 3) = 0
2*t
2*(t − 1)
2*(t
2 + 2*t + 3) = 0 => t1 = 0 , t2 = 1
dalej już sprawa prosta.
11 paź 11:23
pigor: ...np. tak :
1) jeśli tylko cos
12x≠0, to
sin3x+cos3x= ⇔
| | 2tg12x | | 1−tg212x | |
⇔ ( |
| )3 + ( |
| )3 = 1 ⇔ |
| | 1+tg212x | | 1+tg212x | |
⇔ 8tg
312x + (1−tg
212x)
3 = (1+tg
212x)
3 i niech
tg12x= t ⇒
⇒ 8t
3 = (1+t
2)
3 − (1−t
2)
3 ⇔ 8t
3 = (1+t
2 − 1+t
2) (1+2t
2+t
4+1−t
4+1−2t
2+t
4) ⇔
⇔ 8t
3 = 2t
2 (3+t
4) ⇔ 8t = 6+2t
4 ⇔
t4−4t+3=0 ⇔ t
4−t−3t+3= 0 ⇔
⇔ t(t
3−1)−3(t−1)= 0 ⇔ t (t−1) (t
2+t+1) − 3(t−1) = 0 ⇔ (t−1) (t
3+t
2+t−3) = 0 ⇔
⇔ t−1 = 0 ∨ t
3−t
2+2t
2−2t+3t−3 = 0 ⇔
t= 1 ∨ t
2(t−1)+2t(t−1)+3(t−1)= 0 ⇒
⇒ (t−1) (t
2+2t+3)=0 ⇔
t=1 − pierwiastek dwukrotny , więc
tgu{1{2}x= ⇔
| | 1 | | π | | π | |
⇔ |
| x= |
| +kπ /* 2 ⇔x= |
| +2kπ − zbiór rozwiązań danego równania. ...  |
| | 2 | | 4 | | 2 | |
11 paź 11:34
pigor: ... tak
t=0 "wyrzuciłem" niepotrzebnie , przepraszam . ...
11 paź 11:36
AC:
Można tak:
a=sinx
b=cosx
a2 +b2 = 1
a3 + b3 = 1
odejmujemy stronami
a2(1−a) + b2(1−b) = 0
Ponieważ jest to suma dwóch nieujemnych liczb
to oba składniki muszą się zerować
(a=0 ⋀ b=1) ⋁ (a=1 ⋀ b=0)
dalej już prosto:
x = 2kπ ⋁ x = π/2 + 2kπ
11 paź 11:37
pigor: ...
AC to lubię, pięknie ; w życiu bym na to nie wpadł . ...
11 paź 11:51
AC:
Czasami uda się fajnie zrobić
11 paź 11:57
pigor: ... , np. tak :
2)
cosx+tgx < 1+sinx / *
cos2x≠0 (*) ⇒ cos
3x+sinxcosx < cos
2x+sinxcos
2x ⇔
⇔ cos
3x+sinxcosx − cos
2x − sinxcos
2x < 0 ⇔ cos
2x(cosx−1) −sinxcosx(cosx−1) < 0 ⇔
⇔ (cosx−1) (cos
2x−sinxcosx) < 0 ⇔ cos
2x (cosx−1) (1−tgx) < 0 ⇔
⇔ (cosx−1) (1−tgx) < 0 ⇔ (cosx−1< 0 i 1−tgx >0) lub (cosx−1 >0 i 1−tgx< 0) ⇔
⇔ (cosx<1 i tgx <1) lub (cosx >1 i tgx >1) , a stąd , z (*) i faktu, że |cosx}≤1, to
dalej
⇔ cosx ≠0 i cosx<1 i tgx <1 ⇒
cosx ≠0 i tgx <1 ⇔
⇔
−12π+kπ < x < 14π+kπ ⇔
x∊(−12π+kπ ; 14π+kπ), k∊C . ...
11 paź 13:46