Pierwiastki równania kwadratoweg z parametrem, PatryK: Jaką najmniejszą wartość przyjmuje suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x² −(m+3)x +2m=0

ZKS: Jakie założenia na początku powinieneś dać?

ICSP: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ i lecisz ze wzoró Viete'a. Oczywiście pamiętaj o tym że Δ > 0

Nienor:

	−b		c
x1=k, x2=n⇒k2+n2=(k+n)2−2kn⇒(ze wzorów Vieta)(		)2−2
	a		a

f(m)=(m+3)²−2*2m f(m)=m²+2m+9 Δ=−32 q→wartość mninimalna q=8

Nienor: a i oczywiście Δ głównego równania (m+3)²−8m≥0, bo tylko wtedy pierwiastki istnieją.

ZKS: Nienior dwa różne pierwiastki przecież iCSP napisał że Δ > 0.

PatryK: Rozumiem wszystko do delty równania m² +2m +9, ale skoro wychodzi ujemna skąd wzięło się 8 ?

Nienor: racja

ZKS: To jaki z tego warunek że Δ dla m wychodzi ujemna?

Nienor: Bo ja nie liczę pierwiastków, tylko wierzchołek (nawiasem mówiąc musisz sprawdzić czy wchodzi on do dziedziny), a każda parabola ma wierzchołek, nawet ta co nie ma pierwiastków

PatryK: ZKS delta ujemna wiec nie ma pierwiastów, parabola nie przecina osi ox. Ale ciągle nie rozumiem czemu musialem policzyc q zeby otrzymac rozwiązanie.

Nienor: Bo przy równaniu m²+2m+9 nie interesują nas pierwiastki, tylko wartość najmniejsza, czyli q wierzchołka paraboli (bo parabola ma ramiona do góry). Musisz jednak sprawdzić, czy dla m=8 istnieje rozwiązanie równania: x² −(m+3)x +2m=0.

PatryK: Czyli w poleceniu ,, suma kwadratów dwóch róznych pierwiastków '', oznacza całą parabole, a nie tylko jej przecięcie z osią ox ? Bo wkońcu pierwiastek to miejsce zerowe, a wkońcu ich nie ma.

ZKS: PatryK nie ma pierwiastków mówisz?

ZKS: Dla m = 2 x² − (2 + 3)x + 2 * 2 = 0 x² − 5x + 4 = 0 Δ = 25 − 16 √Δ = 3

	5 − 3
x1 =		= 1
	2

	5 + 3
x2 =		= 4
	2

Ooo popatrz są jednak. To jak to jest? Ty mówisz że nie ma ale jednak są.

PatryK: Teraz w sumie nic nie rozumiem

ZKS: Jaki powinien być warunek aby istniały dwa różne pierwiastki patrz wyżej.

PatryK: Δ>0 zeby istniały 2 różne pierwiastki

ZKS: Policzyłeś Δ? Napisz co dostałeś z tego warunku.

PatryK: m² +6m +9>0

ZKS: Policz jeszcze raz bo coś zgubiłeś jeszcze.

PatryK: m² −2m +9>0

ZKS: Teraz zamień to na postać kanoniczną powinieneś coś zauważyć.

PatryK: y= (x−1)² +8 czyli mam wierzchołek paraboli w punkcje (1,8). Parabola skierowana do góry wiec najmniejsza wartosc funkcji to 8.

ZKS: Jaki znowu x i y? Przecież tam masz m.

PatryK: prawda, f(m) = (m−1)² +8

ZKS: Więc masz (m − 1)² + 8 > 0 a (m − 1)² + 8 jakie jest ujemne dodatnie równe 0?

PatryK: ujemne i równe 0 nie moze byc, a dodatnie dla każdej m e R

ZKS: Czyli (m − 1)² + 8 > 0 jest spełnione czy nie jeżeli tam dla jakich m?

PatryK: no spełnione dla każdego m

ZKS: To mamy że dla każdego m ∊ R nasze wyjściowe równanie ma dwa różne pierwiastki. Teraz wykorzystując wzory Viete'a zapisujesz sumę kwadratów pierwiastków.

PatryK: Czyli równanie wyjściowe ma 2 miejsca zerowe dla każdego m, i stąd jest pytanie o pierwiastki. Teraz suma kwadratów to f(m)= m²+2m+9. Δ=−32 więc to równanie kwadratowe z m nie przecina osi ox, a jego najmniejszą wartością jest yw czy −Δ/4a. O ile dobrze zrozumialem

ZKS: Według Ciebie f(m) = m² + 2m + 9 opisuję sumę kwadratów pierwiastków?

PatryK: tak

ZKS: Napisz jak to tą funkcję otrzymałeś.

ZKS: Przepraszam oczywiście w porządku ja ciągle 4m odejmowałem od stałej a nie od zmiennej.

PatryK: (^−b_a)² − 2 ^c_a

ZKS: I się dziwiłem że Ci taki wynik wychodzi. To co teraz powiesz o tej funkcji. f(m) = m² + 2m + 9. Tutaj mamy do czynienia z maksimum czy minimum?

PatryK: minimum

ZKS: Więc je teraz liczysz i podaj ile Ci wyszło.

PatryK: dobra, rozumiem

PatryK: 8 dla x= −1

ZKS: Rozumiesz już wsio?

PatryK: tak, dzieki za pomoc

ZKS: Proszę. Dobranoc.

ZKS: Nie dla x tylko dla m!

PatryK: wiem, że dla m, ale z przywyczajenia piszę x. Musze o tym pamiętać Dobranoc

ZKS: Więc zapamiętaj bo to ważne.