KONKURS! tim: KONKURS Uwaga Regulamin: 1. Czas ostatecznego nadesłania odpowiedzi: 10.05.2009 (niedziela) godz. 20. 2. Odpowiedzi należy przesyłać na e−maila zdu@o2.pl. 3. Odpowiedzi można przesyłać w mailu lub jako załącznik w formacie: * doc, docx (word) * pdf * jpg, bmp, gif (obraz) * html 4. W tytule należy umieścić nick z forum. 5. Odpowiedzi wraz z kluczem oceniania zostaną udostępnione godzinę po zakończeniu nadsyłania. 6. W tym poście piszemy TYLKO ewentualne pytania wobec zadań oraz inne komentarze Powodzenia CZĘŚĆ A. – Algebra i arytmetyka, geometria, elementy zastosowań matematyki. W każdym z zadaniu liczba poprawnych odpowiedzi do poszczególnych zadań może być różna. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Jeżeli żadna nie jest poprawna podaj odpowiedź O. Za tą część możesz zyskać maksymalnie 39 punktów. 1) Iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych nazywamy liczbę postaci (n + 1)(n + 2)(n + 3), gdzie n ∈ N. Czy każda liczba tej postaci jest podzielna przez: a. 2 b. 3 c. 4 2) Czy odległość punktu P(x, y) od początku układu współrzędnych wyraża się wzorem: a. √(x + y)² b. √x² + y² c. |x – y| 3) Jeżeli w pewnej liczbie dwucyfrowej przestawimy cyfry to otrzymamy liczbę o 36 większą. Które z poniższych zdań są prawdziwe? a. Tylko liczba 15 spełnia ten warunek. b. Istnieje 5 liczb dwucyfrowych o takiej własności. c. Każda liczba dwucyfrowa ma tę władność. 4) Wiadomo, że suma p + q pewnych dwu liczb pierwszych, jest również liczbą pierwszą. Czy stad wynika, że: a. jedną z liczb p i q jest równa 2. b. obie liczby p i q są liczbami nieparzystymi. c. jedna z liczb p i q jest parzysta, a druga nieparzysta. 5) Liczba ³√5 * √3 jest równa: a. ³√5√3 b. ⁴√9 * ³√5 c. ⁶√25 * 27 6) Jeżeli w liczbie dwucyfrowej podzielnej przez 3 zamienimy kolejność cyfr to otrzymamy zawsze: a. liczbę nieparzystą. b. liczbę dwucyfrową naturalną. c. podzielną przez 3. 7) Liczba a jest dodatnia. Czy z tego wynika, że:

	1
a. a +		> 1
	a

	1
b. a +		≥ 2
	a

	1
c. a +		> 2
	a

	1
8) Wiadomo, że a ∊ R \ {0}. Czy z tego wynika, że liczba (a +		)2?
	a

a. większa od 1. b. większa od 2. c. większa od 4. 9) Dane są liczby a i b, takie, że a < b. Czy z tego wynika, że:

	a + b
a.		> a
	2

	a + b
b.		< b
	2

c. b + a > b – a 10) Liczby, których odległość od punktu x = −2 na osi Ox jest większa od 3 spełniają warunek: a. |x + 2| = 3 b. |x + 2| < 3 c. |x + 2| > 3 11) Zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych jest zbiorem rozwiązań równania: a. √x² = x

	|x|
b.		= 1
	x

c. |x| = x 12) Funkcja liniowa określona jest wzorem y = √2x. Czy prawdą jest, że: a. funkcja przyjmuje wyłącznie wartości niewymierne. b. istnieją co najmniej trzy argumenty, dla których wartości funkcji są całkowite. c. dla każdego argumentu wymiernego funkcja przyjmuje wartość niewymierną. 13) Liczby a i b są dodatnie. Czy wynika stąd, że wykres funkcji liniowej y = ax + b przechodzi przez: a. I, II, III ćwiartkę układu współrzędnych. b. II, III, IV ćwiartkę układu współrzędnych. c. I, III, IV ćwiartkę układu współrzędnych. 14) Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Spośród wierzchołków sześcianu można wybrać: a. trzy, które są wierzchołkami trójkąta równobocznego. b. cztery, które są wierzchołkami kwadratu. c. pięć, które są wierzchołkami pięciokąta. 15) Punkt W jest wierzchołkiem stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Odcinki WA i WB są tworzącymi tego stożka. Wynika, z tego, że: a. trójkąt WAB jest równoramienny. b. |AB| ≤ |WA| c. |< AWB| = 60^O 16) Czy kwadrat można podzielić na 200 trójkątów: a. równobocznych. b. równoramiennych. c. prostokątnych. 17) Mamy trójkąt równoramienny ABC, gdzie |AC| = |BC|. Kąt CAB ma 72^O. Poprowadzono dwusieczną AD. Czy wynika z tego, że: a. trójkąt ADB jest podobny do trójkąta ABC. b. trójkąt CDA jest podobny do trójkąta ACB. c. trójkąt ADC jest podobny do trójkąta ABD. 18) W trójkącie ABC wysokości AD i BE mają długości większe niż 100cm. Czy z tego wynika, że: a. istnieje w tym trójkącie bok krótszy od 100cm. b. obwód tego trójkąta jest większy od 300cm. c. pole trójkąta ABC jest większe niż 1000cm². 19) Czy pole trójkąta równoramiennego o podstawie a, ramieniu b i kącie ß między ramionami może być wyrażone wzorem: a. P = b² * sin ß

	1		a
b. P =		a * √b2 – (		)2
	2		2

	1		ß
c. P =		ab * cos (90O –		)
	2		2

20) Boki prostokąta mają długość 10cm i 4cm. Czy z tego prostokąta można wyciąć trójkąt o polu: a. 20cm² b. 30cm² c. 25cm² 21) Wśród wierzchołków sześcianu ABCDEFGH istnieją trzy, które są wierzchołkami: a. trójkąta równobocznego. b. trójkąta prostokątnego. c. trójkąta równoramiennego, ale nie równobocznego. 22) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku a = 10cm. Krawędź SA jest prostopadła do podstawy, a krawędź SC tworzy z podstawą kąt 45^O. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa. Wskaż właściwą odpowiedź. a. 10√2 + 100√3 b. 100√2 + 10√3 c. 200(√2 + √3) 23) Z talii 52 kart do gry losujemy jedną. Prawdopodobieństwo wylosowania: a. siódemki jest większe niż asa. b. karty koloru czerwonego jest większe niż czarnego. c. pika jest takie samo jak wylosowanie kiera. 24) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną do gry. Zatem: a. zdarzenia „suma oczek w obu rzutach jest równa 2” i „suma oczek w obu rzutach jest równa 12” są jednakowo prawdopodobne. b. otrzymanie sumy oczek równej 4 jest bardziej prawdopodobne niż otrzymanie sumy oczek równej 3. c. otrzymanie dwu jedynek jest bardziej prawdopodobne od otrzymania 1 i 6. CZĘŚĆ B. Zadania tekstowe. Przed sobą widzisz 11 zadań otwartych. Za każde zadanie, możesz otrzymać liczbę punktów podaną przy nim. W swoim rozwiązaniu podaj pełne wytłumaczenie oraz odpowiedź. Za wszystkie zadania możesz zdobyć 43 punkty. Zadanie 1 (3 pkt.) Pole trójkąta ABC jest równe 21 cm², |AC| = 6 cm, |AB| = 8 cm. Dwusieczna kąta BAC dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Ile wynosi różnica pól trójkątów wyznaczonych przez tę dwusieczną? Zadanie 2 (3 pkt.) Pole powierzchni bocznej prostopadłościennego kartonu jest równe 320 cm². Wysokość kartonu wynosi 11 cm, a pole jednej ze ścian bocznych jest równe 55 cm². Ile maksymalnie soku można zmieścić w tym w kartonie, jeśli objętość kartonu musi być o 5% większa od objętości soku? Zadanie 3 (4 pkt.) Wafel do lodów ma kształt stożka o promieniu 2 cm i wysokości 6 cm. Do wafla włożono jedną porcję lodów. Przyjmij, że porcja lodów ma kształt kuli o średnicy 4 cm. Znajdź odległość środka lodowej kuli od wierzchołka waflowego stożka. Zadanie 4 (5 pkt.) W ostrokątnym trójkącie ABC poprowadzono wysokości AA₁, BB₁, CC₁. Wykaż, że wysokości te zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta A₁B₁C₁. Zadanie 5 (5 pkt.) Sprawdź i udowodnij, czy liczba 3³² − 1 jest podzielna przez 8. Nie możesz korzystać z kalkulatora. Zadanie 6 (4 pkt.) Wykaż, że: √3 + 2√2 = √2 + 1 Zadanie 7 (3 pkt.) Dany jest trapez ABCD, w którym AB || CD. Wykaż, że trójkąty ABC i ABD mają równe pola. Zadanie 8 (5 pkt.) Średnica AB i cięciwa CD pewnego okręgu przecinają się w punkcie M. Kąt CMB ma 75^O, a kąt środkowy oparty na łuku BC wynosi 58^O Wyznacz miarę kąta ACD. Zadanie 9 (3 pkt.) Która z liczb jest większa: 1 * 2 * 3 * … * 2004 czy 1000¹⁰⁰⁰? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 10 (4 pkt.) Uczniów biorących udział w konkursie matematycznym można umieścić w salach tak, by w każdej sali była ta sama liczba uczniów, przy czym nie więcej niż 32 osoby w sali. Kiedy w każdej sali umieścimy po 22 osoby, to dla jednego zawodnika zabraknie miejsca. Gdy z jednej sali zrezygnujemy, miejsc w pozostałych salach wystarczy dla wszystkich. Ilu zawodników bierze udział w konkursie oraz ile sal dla nich przygotowano? Zadanie 11 (4 pkt.)

	3
Szklankę w kształcie walca o długości średnicy równej d i długości wysokości równej		d
	2

	1
napełniono wodą. Następnie szklankę przechylono tak, że		wody wylała się. Wyznacz miarę
	3

kąta, pod którym przechylono szklankę.

tim: Zadania są autorstwa pana Krzysztofa Ortmanna (mojego nauczyciela matematyki), mojego, a niektóre pochodzą z książki "Testy wielokrotnego wyboru dla gimnazjum".

radek: sa jakies nagrody?

tim: Największy kawałek ciasta z tortu urodzinowego Ewentualnie jakby się sponsor znalazł to może może. NAGRODĄ jest tytuł najlepszego matematyka . PS. Ogólnie to jest takie sprawdzenie swoich możliwości

radek: fajna nagroda by byla gdyby na stronie glownej widnial nick zwyciezcy przez pare dni jak wygra

radek: albo cos w tym stylu

tim: A to z Jakubem.. Może da się ugadać

tim: Jakub... jakaś propozycja?

radek: trzeba jakos zachecic ludzi

tim: radek, tylko najpierw muszą być chętni

radek:

tim: UWAGAUWAGAUWAGAUWAGA W zadaniach 7 i 8

	1
1 +		<−− nie wyraźnie widać.
	a

Zadanie 8. Chodzi o (1 + ¹_a)²

tim: radek, a jak na pierwszy rzut oka zadania?

Jakub: Nagroda Nagrodą będzie info na stronie głównej forum: "Najlepszy/a na tym forum jest ..." Nagroda będzie widoczna przez tydzień od momentu dostarczenia mi wyników przez tima. Duży widoczny napis z pogrubionym nickiem.

tim: UWAGAUWAGAUWAGAUWAGA NAGRODA

tim: I w tym poscie oceniajcie poziom zadań

@Basia: W jednym z zadań testowych dwie odpowiedzi są poprawne. Co wtedy ?

tim: Przeczytaj wstęp do zadań zamkniętych

Bogdan: tim − powtórz na wszelki wypadek pełną treść zadań 7 i 8

tim: Poprawne mogą być 0,1,2 lub 3 odpowiedzi. Wszystkie trzeba podać.

radek: tim fajne zadania i chetnie wzialbym udzial w tym konkursie jednak nie wiem czy to sa zadania, ktore po czesci przygotuja mnie do matury? No wlasnie najbardziej musze sie teraz skupic chyba na arkuszach jak sadzisz?

tim: radek, jak masz czas, to rób.. możesz sobie otwarte zrobić.. to takie na rozluźnienie

tim: BARDZO PROSZĘ O ZWRACANIE W ZADANIACH ZAMKNIĘTYCH UWAGI NA WSZYSTKIE MOŻLIWOŚCI!

tim: Mam pyt. JAKUB, czy możesz edytować posty?

Jakub: Napisz mi co mam poprawić.

tim: Ok. Więc tak. Zadanie 7 oraz 8 − tak jak wyżej. Zadanie 17 − tą literkę A. I dopisać o nagrodzie I pousuwać posty, w których poprawiałem.

@Basia: Timuś moim zdaniem w zad.22 żadna odpowiedź nie jest poprawna

tim: Przeczytaj dokładnie wstęp do zadań zamkniętych oraz cytat: "tim: Poprawne mogą być 0,1,2 lub 3 odpowiedzi. Wszystkie trzeba podać.

daveustro: Czyli innymi słowy nie piszmy sobie tu odpowiedzi. tim może daj Twoje gadu, że jakby były jakieś wątpliwości/pytania to tam będą kierowane, żeby nie tutaj gotowe odpowiedzi pisać

@Basia: Timuś, a w zad.2 tekstowym nie miało być P_pow.bocznej = 330 ?

tim: Nie. Jest poprawne. Wynik, też będzie ładny Pole powierzchni bocznej

Jakub: Tim sprawdź czy już wszystko jest poprawnie.

@Basia: A czy rozwiązania tych zadań tekstowych mogą być bez rysunków ?. Jak dla mnie rysowanie takiej ilości figur w edytorze jest niewykonalne.

tim: Basiu, tak, jak najbardziej. Wystarczy, że napiszesz, co czym jest . Jakub. Już sprawdziłem. Są poprawne.

przemek: 25

tim: ZAPRASZAMY DO UDZIAŁU

adm: hmm czy w przeriw między zadaniami matematycznymi skusił by się ktoś z was na fizykę? pomogłam teraz w matematyce kilku(nastu?) forumowiczom, ale sama sobie nie daję rady... zerknijcie na zadanie dodane przez użytkownika o nicku "fizyka" pozdrawiam adm

adm: *przerwie

Damian: szkoda ze sie spozniłem na rozpoczęcie.. pewnie nie mam juz szans... ale porobie sobie zadanka zeby sie sprawdzic POWODZENIA WSZYSTKIM

Damian: MOJE PYTANIE TIM czy wysyłać ci mamy odpowiedzi z czesci A tylko odp czy uzasadnienie tez odp szybko

Mickej: Oglądnę Anastazje i może jakieś ciekawe zadanie sie znajdzie

tim: Więc tak. Szanse są, czas jest do końca dnia dzisiaj (do 20). Część A tylko poprawne warianty. Mickej, nie chciałbyś być na stronie przez tydzień ?

Mickej: nie rozumiem pytania

tim: " Jakub: Nagroda Nagrodą będzie info na stronie głównej forum: "Najlepszy/a na tym forum jest ..." Nagroda będzie widoczna przez tydzień od momentu dostarczenia mi wyników przez tima. Duży widoczny napis z pogrubionym nickiem. "

Mickej: to nie chce

tim: Możesz zrezygnować, ale spróbuj. Zobaczymy co wiesz (pamiętaj, to gimnazjum tylko)

tim: Czas do 20!

tim: Z powodów próśb osób (maturzystów) KONKURS zostaje PRZEDŁUŻONY do ŚRODY do godziny 20.00. Pozdrawiam.

Mickej: a gdzie te prośby? widzę że maturzyści przygotowani skoro zadania na 2h chcą do środy robić......

tim: Mickej, dostałem na emaila Wszyscy teraz się uczą (podobno)

♊: Oo! to jak do środy to może zdążę :P Odpowiedzi do zadań z części A trzeba uzasadniać ?

tim: Nie. Do części A nie.

tim: Ponawiam.

Gosia: 5² 2¹⁰ a₂ a₂₅ √2 √81

tim: Czas do środy do 20!

tim: Mickej nie walczysz? Albo Bogdan?

sylwia gdańsk: w trapezie ABCD podstway maja dlugosc 16 i 10 IADI=4 kat DAB=60 oblicz pole i obw trapezu sin kata ADB oraz odleglosc punktu przeciecia sie przekatnych o dluzszej podstawie

tim: Brać udział

tim: Chwile mnie nie ma i tyle zadań . W końcu w środę matura

czaper: pobawiłem się z tym, ale szczerze, pierwsza część zajęła mi jakieś 10 min. ale liczyłem wszystko w pamięci i brałem na logiczne myślenie, nawet nie dotknąłem długopisu ani żadnej kartki, ani nie zależy mi, żeby to wygrać, tylko chcę się sprawdzić... mature mam dopiero za rok zrobił bym tez zadania otwarte, ale nie mam czasu, naprawde... pozdrawiam wszystkich uczestników...

tim: czaper, otwarte to właśnie logiczne, te zamkniętę takie troszkę masz czas do środy

czaper: zobaczę jeszcze co da się zrobic, jeżeli znajdę troszke czasu, to z miłą checią bym się za nie wziął... a jeśli nie zdążę, to najwyżej później sobie je rozwiąże, szkoda, że4 dopiero chwilkę temu te zadania zobaczyłem i ten konkurs, ale trudno...

tim:

Toobiesz: :::rysunek::: to może taki?

EPRE2k9: tam na nawet ładne artystyczne kształty, marnujesz sie w matematyce ja bym cię widział w Akademi Artystycznej TOŻ TO SZTUKA!

Mickej: to słoneczko jest? cos mu zwisa

tim: Wy tu po maturce dawać A nie o zwisaniu gadacie

Jakub: Środa godzina 20 już dawno minęła, a tu nie ma wyników. Tim napisz jakieś podsumowanie konkursu, tak aby można było zamknąć ten wątek.

wjmm: Zadania zamknięte z matematyki Bez sensu, odpowiedzi można sobie w jakimś podręczniku sprawdzić...

♊: wjmm − ile masz różnych podręczników z matematyki ? Poza tym konkuyrs z matematyki − mozan na jakimś forum dać pytania i Ci rozwiązą. Z czego nie można sobie odpowiedzi sprawdzić ? Chociażby w internecie ?

tim: Oj. Jakub. Przepraszam. Dzisiaj będzie.

tim: Numer zadania Poprawne odpowiedzi Maksymalna ilość punktów A B C O 610 1 X X 2 613 2 X 1 614 3 X 1 615 4 X X 2 616 5 X X 2 617 6 X 1 618 7 X X 2 619 8 X X 2 620 9 X X 2 622 10 X 1 623 11 X X 2 627 12 X 1 634 13 X 1 656 14 X X 2 657 15 X X X 3 658 16 X X 2 667 17 X 1 670 18 X X 2 674 19 X 1 677 20 X 1 678 21 X X X 3 650 22 X 1 709 23 X 1 710 24 X X 2 39 1 • Sporządzenie rysunku do zadania i dostrzeżenie odpowiednich trójkątów podobnych lub przystających, albo odcinków proporcjonalnych albo własności dwusiecznej – 1 pkt. • Zapisanie i przekształcanie zależności prowadzących do obliczenia różnicy pól trójkątów – 1 pkt. • Poprawne wyznaczenie różnicy pól trójkątów – 1 pkt. Odp. 3cm² 2 • Analiza warunków zadania i wyznaczenie wymiarów prostopadłościanu – 1 pkt. • Wyznaczenie objętości prostopadłościanu – 1 pkt • Obliczenie maksymalnej objętości soku – 1 pkt. Odp. 2 ∙ 55 = 110 320 – 110 = 210 210 : 2 = 105 55 : 11 = 5 105 : 11 = 9 • Wymiary prostopadłościanu 5 cm x 9 cm x 11 cm • Objętość prostopadłościennego kartonu 5 cm x 9 cm x 11 cm = 525 cm3 • Objętość kartonu = 105% objętości soku 105% x = 525 x = 500 cm3 = 0, 5 l W kartonie mieści się 0,5 litra soku. 3 • Sporządzenie rysunku do zadania i wyróżnienie / zaznaczenie / odpowiednich trójkątów – 1 pkt. • Dostrzeżenie, że szukana odległość jest równa tworzącej stożka – 2 pkt. • Wyznaczenie odległości – 1 pkt. 2² + 6² = 40 d = 2√10 cm http://img2.vpx.pl/up/20090514/przechwytywanie.gif 4 • Sporządzenie rysunku do zadania – 1 pkt. • Przeprowadzenie uzasadnienia, dla wybranej wysokości – 3 pkt. 1. Zbudowanie par kątów równych – 1 pkt. 2. Wskazanie trójkątów podobnych – 1 pkt. 3. Uzasadnienie, że analizowana wysokość zawiera się w dwusiecznej odpowiedniego kąta – 1 pkt. • Podanie informacji o powtórzeniu rozumowań dla pozostałych wysokości – 1 pkt. http://img2.vpx.pl/up/20090514/przechwytywanie86.gif 5. Czterokrotne wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia http://img2.vpx.pl/up/20090514/beztytulu47.jpg 6. Znalezienie metody i dokonanie porównania. http://img2.vpx.pl/up/20090514/beztytulu96.jpg 7 Wykonanie poprawnego rysunku wraz z oznaczeniami Zauważenie, że w trapezie ABCD wysokość opuszczona z wierzchołka C na podstawę AB w trójkącie ABC jest równa wysokości opuszczonej z wierzchołka D na podstawę AB w trójkącie ABD. Zauważenie, że trójkąty ABC i ABD mają wspólną podstawę AB http://img2.vpx.pl/up/20090514/przechwytywanie92.gif 8 Wykonanie poprawnego rysunku wraz z oznaczeniami http://img2.vpx.pl/up/20090514/beztytulu69.jpg 9 Opisanie, obliczenie i wyjaśnienie problemu oraz większości 10 Zapisanie założeń. ilość uczniów w sali (x) należy (22,32) ilość sal (y) należy C⁺ ilość wszystkich uczniów (z) Zapisanie układu równań 22y = z – 1 x(y−1) = z x należy (22,32) Rozwiązanie układu do postaci 22y = xy – x – 1 Obliczenie x = 23 Obliczenie y = 24 11 Dowolna metoda obliczenia kąta 45^O WYNIKI 1) Bezkonkurencyjna BASIA 70/82 2) ... 55/82 3) ... 47/82 4) ... 38/82 5) ... 23/82 6) ... 15/82 Ochrona danych osobowych. Każdy uczestnik został poinformowany na emaila.

Basia: Nie dostałam E−maila.

Basia: Poza tym ja się chyba nie liczę jeżeli pozostali uczestnicy konkursu należą do nieco innej grupy wiekowej (i nie tylko wiekowej).

♊: o.O Basia nie miała 100% ?

Basia: Jak widać. Nie rozwiązałam 4 (z części B). No i musiałam się chyba jeszcze gdzieś pomylić.

Jakub: Basia gratuluję wyniku. W ogóle gratuluję wszystkich uczestnikom tego konkursu, a najbardziej Timowi. Miałeś pewnie sporo roboty z tym konkursem. Sześciu uczestników nie jest złym wynikiem. Prawdę powiedziawszy myślałem, że będzie gorzej. Trzeba jednak trochę samozaparcia, aby nie tylko zadania rozwiązać, ale te rozwiązania jeszcze zapisać i wysłać. Jeszcze raz gratulacje Basi i Timowi i wszystkim uczestnikom, którym się chciało.

Basia: Dziękuję Jakubie. Tim na pewno jutro się odezwie, bo dzisiaj już chyba słodko śpi.

b.: No no, ciekawe, ciekawe a może zrobić ligę zadaniową, coś na wzór Klubu 44 z Delty? np. raz na tydzień jedno zadanko...

Basia: Witaj b. Świetny pomysł !

tim: Tak, wczoraj smacznie spałem, gdyz odbył się dziś: "3 powiatowy konkurs matematyki dla uczniów gimnazjum pod patronatem burmistrze Janusza Wróbla" Niedługo zeskanuje zadania i powiecie jaki poziom

Damian: Spoko juz czekam na te zadanka bo cos nudno teraz sie zrobilo po maturze...

tim: Ale Damian, wiesz jaki to poziom? II GIM oraz III

tim: Oczywiście się pochwalę (), że zająłem I miejsce w kategorii II GIM. Trzeci rok z rzędu

tim: Na prośbę Damiana. http://img2.vpx.pl/up/20090515/ii_gimnazjum.gif http://img2.vpx.pl/up/20090515/iii_gimnazjum.jpg (wykryty błąd w zadaniu 1. zamiast 5 powinien być %, organizator zostanie poinformowany we wtorek)