indukcja art1: Proszę o pomoc w tym zadaniu: Wykaż, że cyfra 6ⁿ ma zawsze na końcu 6. Założenie: n ≥ 1.

art1:

Artur_z_miasta_Neptuna: indukcja: 1^o n=1 6¹ = 6 2^o n=k 6^k = 'coś'*10 + 6 −−−− czyli ma na końcu 6 3⁰ n=(k+1) 6^k+1 = 6^k*6 = ('coś'*10 + 6)*6 = 'coś'*60 + 36 −−−− czyli ma na końcu 6 c.n.w. tylko zamiast 'coś' możesz jakąś niewiadomą wstawić

art1: A dlaczego to wygląda tak: 'coś' * 10 + 6? Czemu taka forma, mógłbyś wytłumaczyć?

Artur_z_miasta_Neptuna: skoro ma byc na końcu 6 to jest postaci, np.: 12437896747831678346 ... czyli: 12437896747831678340 + 6 = 1243789674783167834*10 + 6

Artur_z_miasta_Neptuna: jako, że nie wiesz ile dokładnie wygląda 6^k (poza tym że ostatnia cyfra to 6) to po prostu zapisujesz 6^k = 'coś'*10 + 6

art1: Ok dziękuję bardzo A taki dowód przeprowadziłem dobrze:? Mam wykazać, że wyrazy ciągu a₀ = 2 i a₁ = 3 i a_{n + 1} = 3a_n − 2a_{n − 1}, n ≥ 1 to a_n = 2ⁿ + 1 1. Podstawa indukcji: a_n = 2ⁿ + 1 ⇒ a₁ = 2¹ + 1 ⇒ 3 = 3 ⇒ L = P OK 2. Krok indukcyjny: Zakładam, że a_n jest prawdziwe i udoawaniam, że a_{n + 1} też jest prawddziwe: a_{n + 1} = 3a_n − 3a_{n − 1} = 3(2ⁿ + 1) − 2 * (2^{n − 1} + 1) = 3 * 2ⁿ + 3 − 2ⁿ − 2 = 2 * 2ⁿ + 1 = 2^{n + 1} + 1. ⇒ L = P. Zatem prawda.

Artur_z_miasta_Neptuna: skoro w kroku 2 korzystasz z DWÓCH odniesień do stanów poprzednich ... to musisz sprawdzić prawdziwość zarówno dla a₁ jak i a₂ (bo wtedy ze wzoru a₃ = 3a₂ − 2a₁ możesz skorzystać mam nadzieję, że rozumiesz o co mi chodzi

art1: niestety nie

Artur_z_miasta_Neptuna: w pierwszym kroku wykazałes że dla a₁ jest to prawdą w trzecim niech n=3 ... wykazujesz że dla a₃ jest to prawdą jeżeli jest prawdą dla a₂ i a₁ ... a gdzie wykazałeś że dla a₂ jest to prawdą nigdzie

art1: czemu dla a₂, chyba chodziło, że w 1. Podstawie indukcji sprawdzić czy a₀ i a₁ są prawdziwe?

Artur_z_miasta_Neptuna: musisz założyć że jest to prawdziwe i dla a_n i dla a_n−1 ... skoro bierzesz aż dwa elementy (kolejne) to musisz na poczatku wykazać że i dla a₁ i dla a₂ ma to ręce i nogi

Artur_z_miasta_Neptuna: dobra ... to sprawdziłeś a₁ ... a gdzie sprawdzenie a₀

art1: ok, ale gdyby założenie byłoby n ≥ 0 to wtedy bym sprawdzał dla a₀ i a₁, natomiast teraz a₁ i a₂ tak ?

art1: już wiem o co chodzi, tylko jakbyś teraz mógł określić. Bo wiem, że trzeba sprawdzić dwa elementy tylko to chyba zalezy od założenia. Czyli w tym wypadku tak jak napisałeś dla a₁ i a₂, natomiast gdyby nie było n ≥ 1 tylko n ≥ 0 to wtedy a₀ i a₁. Zgadza się ?

Artur_z_miasta_Neptuna: ha ... więc jednak musisz sprawdzić a₂ w pierwszym kroku bo skąd wiesz że a₀ = 2⁰ + 1 nie wiesz ... wiesz tylko że a₁ = 2¹ + 1 więc nie wiesz że a₂ = ...ileś tam = 2²+1

art1: ok, czyli jak to sprawdzę to reszta dowodu jest prawidłowa?

Artur_z_miasta_Neptuna: reasumując: gdybyś w drugim kroku indukcji musiał sie odwołać do 10 kolejny elementów ciągu to w pierwszym kroku indukcyjnym musisz wykazać że (najlepiej) 10 pierwszych elementów ciągu spełnia to założenie ... wtedy dopiero możesz w drugim kroku indukcji wykorzystać wzór i wykazac, ze skoro 10kolejnych spełnia to z tego wynika że i ten 11 spełnia

Basia: tu musimy zastosować indukcję zupełną czyli założyć prawdziwość wzoru dla każdego k≤n Z.ind.: a_n+1=3a_n−2a_n−1 i dla k≤n a_k=2^k+1 T.ind.: a_n+1=2ⁿ⁺¹+1 dowód: a_n+1 = 3*(2ⁿ+1) − 2(2ⁿ⁻¹+1) = 3*2ⁿ + 3 − 2*2ⁿ⁻¹ − 2 = 3*2*2ⁿ⁻¹ − 2*2ⁿ⁻¹ +1 = (6−2)*2ⁿ⁻¹+1 = 2²*2ⁿ⁻¹+1 = 2ⁿ⁺¹+1

art1: Basiu, ale udowodniłem to samo chyba?

Artur_z_miasta_Neptuna: Basiu ... założenie indukcji zupełnej będzie poprawne dopiero jak sprawdzi a₂ (lub a₀ −−− bez róznicy dla mnie ... pomijam warunek a_n≥1 bo jest idiotyczny) bo tak to z powietrza zakładasz, że jest to prawdą dla wszystkich mniejszych (w przypadku chociażby a₂) i korzystasz z a₁ i a₀, gdzie nie ma nigdzie wykazanych że OBA spełniają warunki

art1: ale czym różni się mój zapis od zapisu Basi? dowód jest taki sam

Basia: oczywiście; nie doczytałam chyba dokładnie o co Wam chodzi ale coś tu w ogóle nie gra

art1: co dokładnie? Basiu czym twoje rozwiązanie różni się od mojego?

art1: to jest dobrze czy nie? i na czym polega indukcja zupełna w prostych słowach.

art1:

art1:

Artur z miasta Neptuna: Indukcja zupelna od tej jaka znasz rozni sie tylko (albo az) zapisem ,ze wszystkie elementy przed n+1 spelniaja dany warunek ... a nie tylko ostatni (czyli n'ty) dowod dobry jezeli w kroku 1 sprawdzisz a₂ Bez sprawdzenia tego dowod jest niepelny −−−−− w kroku drugim przyjales ze a₂ spelnia warunki bez udowodnienia tego