Nierowność Zawodowiec: nⁿ⁺¹>n+1ⁿ

Ajtek: Popraw zapis, ewentualnie podaj pełną treść zadania.

asdf: nⁿ + n > n + 1ⁿ dla n > 1 jest to logiczne...

Ajtek: asdf to jest coś innego niż zadanie zawodowca .

asdf: aha ok to sie nie wtrącam

Ajtek: asdf nⁿ⁺¹=nⁿ*n a u Ciebie plus się pojawił .

Basia: to ma być tak: nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ

Ajtek: Też tak mi się wydaje .

Basia: i to jest prawdą dla n≥3

Ajtek: Basia indukcją to się udowadnia?

Basia: indukcją raczej nie pójdzie

Ajtek: Hmmmm, to nie mam pomysłu jak to zrobić .

Ajtek: Nie rozwiązuj tego tylko, bo zainteresowany jak widać wsiąkł jak woda w gąbkę .

sushi_gg6397228: mozna podciagnac pod e

Basia:

	(n+1)n
an=
	nn+1

jest ciągiem malejącym i dla n=3 a_n < 1 z tego wynika, że dla każdego n≥3 również a_n<1 a z tego już wynika to co trzeba to, że a_n jest malejący nie jest trudno pokazać

an+1		(n+2)n+1		nn+1
	=		*		=
an		(n+1)n+2		(n+1)n

(n+2)n+1*nn+1
	=
(n+1)2n+2

(n+2)n+1*nn+1
	=
(n+1)2(n+1)

(n+2)n+1*nn+1
	=
[(n+1)2]n+1

(n2+2n)n+1
	=
(n2+2n+1)n+1

	n2+2n
(		)n+1 < 1
	n2+2n+1

bo n²+2n < n²+2n+1 stąd a_n+1 < a_n (wykorzystuję fakt, że a_n>0 i mogę sobie bezkarnie mnożyć nierówność)

Basia: już rozwiązałam z granicy można policzyć, ale trudno wykazać, że dla n≥3 tak czy owak trzeba pokazywać, że ciąg jest malejący

Trivial: nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ / : nⁿ

	1
n > (1 +		)n
	n

	1
Kresem górnym (1+		)n jest e, czyli nierówność zachodzi na pewno dla
	n

n > e → n≥3 OK Dla n = 2 mamy: 2³ > 3² FAIL. I już.

Trivial: Można jeszcze sprawdzić przypadeki n = 1, n = 0 ale też nie zachodzą.

Basia: 1. musisz najpierw udowodnić, że ciąg (1+¹_n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry 2. potem wykazać, że kres góry jest liczbą niewymierną z przedziału (2;3) 3. do tego jest potrzebna nierówność, którą dowodzić masz pętlę nieskończoną

b.: można też zlogarytmować obustronnie, co daje do udowodnienia nierówność

	ln n		ln(n+1)
		>
	n		n+1

	ln x
więc jak widać, wystaczy zbadać monotoniczność funkcji f(x)=
	x

(pozostaje pytanie, do czego jest ta nierówność potrzebna i czy możemy już do dowodzenia jej używać logarytmów i ich własności)

Zawodowiec: Basia <3333333 masz racje! jestes genialna