dowód na potęgach pierwiastach, wzorach skróconego mnożenia Anula: Kolega podrzucił mi ciekawe zadanie: Udowodnij, że (sqrt (3 + 2 sqrt 2))^x + (sqrt (3 − 2 sqrt 2))^x = 6. Potrzebuje pomocy, bo sama nie daję rady. Z góry dziekuję

ZKS: Widać jakieś podobieństwo między liczbą 3 + 2√2 a liczbą 3 − 2√2?

ZKS: Mamy liczbę a + b liczbą odwrotną do niej jest liczba postaci a − b jeżeli spełnia warunek: a² − b² = 1 gdzie a = 3 i b = 2√2. Sprawdź czy te liczby są liczbami odwrotnymi.

Anula: Są liczbami odwrotnymi zgodnie z tym warunkiem...ale jak to się ma do całego równania z wykładnikiem x?

ZKS: Skoro są odwrotne to jak można zapisać inaczej tę liczbę a − b?

Anula: a−b=1/a+b

ZKS: Więc mamy:

	1
(a + b)1/2x + (		)1/2x = 6
	a + b

Co byś zaproponowała teraz? Masz jakiś pomysł na to czy nie bardzo?

Anula: hmm, podniosłabym do kwadratu zazwyczaj tak się robiło...ale nie wiem dlaczego potęgę zastąpiłeś 1/2x a nie jak w zadaniu x...

ZKS:

	1
Bo jest pierwiastek na całość nałożony ale jeżeli chcesz możemy zapisać bez		w potędze.
	2

	1
(√a + b)x + (		)x = 6
	√a + b

To teraz zastanów się co nam da podniesienie obustronnie do kwadratu? Raczej nie tędy droga.

Anula: Zapomniałam o naszym pierwiastku z wrażenia, że pierwszy raz radzę się internetowo z zadaniem...no właśnie podniesienie do kwadratu nic nie daje...myślenie pod presją mi nie wychodzimoże zastanowię się jeszcze jutro z Twoimi podpowiedziami

ZKS: Taka mała podpowiedź. x⁴ − 10x² + 9 = 0 Jak rozwiązała byś tutaj to zadanie? Nie grupując tylko liczą Δ dla równania kwadratowego bo teraz mamy równanie dwukwadratowe.

Anula: Pomocnicza zmienna.

ZKS: Wiec zastosuj w tym równaniu pomocniczą zmienną. Za co byś podstawiła nową zmienną pomocniczą?

Anula: To zadanko to bułka z masłem

ZKS: Które zadnie to bułka z masłem?

Anula: Za a+b?

Anula: To z podpowiedzi

ZKS: Coś więcej nie samo a + b bo to nam nic nie da bo nadal będziemy mieli zmienną x w potędze.

Anula: Wiem

ZKS: To też jak dojdziesz jak je rozwiązać.

ZKS: Więc za co proponujesz?

asdf: x⁴ − 10^x2 + 9 = 0 x² = t ≥ 0 lub: x⁴ − 9x² − x² + 9 = 0 grupuj

Anula: (a+b)¹/2. Wtedy będzie równanie kwadratowe do rozwiązania prawda? t²−6t+1=0...nie wiem czy tak, ale zaraz sprawdzę.

ZKS: Prawda więc sprawdź sobie.

ICSP: ZKS ja bym podstawił inaczej.

Anula: Równanie kwadratowe z pomocniczą zmienna potrafię rozwiązać...chyba znów pudło zaliczyłam moją błyskotliwą myślą... ZKS teraz to mnie nie zostawiaj

Anula: a jak?

ICSP: (√a+b)^x = t − moje podstawienie.

Anula: Wychodzi, rozumiem ZKS...nie wiem jak Ci dziękować...zacznę hobbystycznie zadania chyba rozwiązywać hehe...Pozdrawiam wszystkich, kochani jesteście. P.S. Podobał mi się Twój sposób naprowadzania...

Anula: ICPS to co napisałeś to to samo co ja zrobiłam, tylko inaczej zapisane

ZKS: Ale dobrze podstawiła ICSP tam według mnie była literówka i zabrakło (a + b)^1/₂x.

ZKS: Przepraszam za zapis wyżej chodziło mi o: (a + b)^1/₂x

Anula: Potwierdzam, była literówka

ZKS: To jak obliczyłaś t₁ i t₂?

Anula: No z delty i wyszło

ZKS: I obliczyłaś też x?

Anula: hmm, myślałam, że to trzeba udowodnić dla każdego x...dla x=2 pasuje gołym okiem, nie obliczałam x.

ZKS: To jest równanie a nie dowód. A to że x = 2 pasuje to widać a widzisz tu jest jeszcze jedno rozwiązanie tylko jakie musisz obliczyć.

Anula: Myślę, ale chyba już jest za późno...tak na marginesie znasz wszystkie zad na pamięć?

Anula: x=2 lub x=−2?

Anula: Policzyłam x potwierdź czy dobrze

ZKS: Hah niestety ale nie znam. Na te zadania jest pewien schemat rozwiązywania jak byłem w klasie maturalnej to robiłem podobne. Jak zrobisz to zadanie to będziesz Ty miała satysfakcję że Ci się udało ale również i ja że udało mi się w jakimś stopniu pomóc w rozwiązaniu.

ZKS: Ale to jest strzał czy wszystko zostało policzone?

Anula: (a+b)¹/2x=3+2√2 lub (a+b)¹/2x=3−2√2...skoro 3−2√2=1/3+2√2 to 1/2x=1 albo 1/2x = −1...tak?

ZKS: Wszystko w porządku potwierdzam wynik to x = ±2.

Anula: dzięki dobranoc i może do następnego

ZKS: Proszę. I ja też już się zbieram więc dobranoc i może do następnego razu.