planimetria kaska: Bede wdzieczna za pomoc W trójkącie równoramiennym kąt przy postawie ma miarę alfa. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.

AS: Założenia: a − podstawa trójkąta równoramiennego , b − ramię tego trójkąta Rozwiązanie: (a/2)/b = cosα => a = 2*b*cosα z tw. sinusów wynika,że b/sinα = 2*R => R = b/(2*sinα) promirń koła wpisanego w trójkąt wyraża się wzorem r = S/p gdzie S − pole trójkąta , p − połowa obwodu Pole trójkąta S = 0.5*b*b*sin(180 − 2*α) = 0.5*b²*sin(2*α) połowa obwodu p = (a + 2*b)/2 = (2*b*cosα + 2*b)/2 = b*(cosα + 1) 0.5*b²*sin(2*α) b*sin(2*α) ptromień koła wpisanego: r = S/p = −−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−− b*(cosα + 1) 2*(cosα + 1) Szukany stosunek b*sin(2*α) b sinα*sin(2*α) k = r/R = −−−−−−−−−− : −−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− 2*(cosα + 1) 2*sinα cosα + 1