Wykaż, że suma kwadratów pierwszych liczb naturalnych Nati : Wykaż, że suma kwadratów pierwszych liczb nauralnych jest równa 1/6n (n+1) (2n+1) Dziekuje za pomoc

sushi_gg6397228: lecisz indukcja

Ewelina: Czy chodzi o to , że 1² + 2² + 3² + 4² +5² +6² + 7² + 8² + 9² = 1/6n (n+1) (2n+1) 369= 1/6n (n+1) (2n+1) L=369 P=1/6n (n+1) (2n+1) n=1²=1 ¹₆*1(1+1) (2*1+1) P=1 L≠P

Bogdan:

	n(n + 1)(2n + 1)
Chodzi o to, że 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
	6

Mateusz: Ewellina co to ma być? sprawdz czy zachodzi rownosc dla n=2 np L= 1²+2²=1+4=5

	1		1		15
P=		n(n+1)(2n+1)=		*2*(2+1)(2*2+1) =		=5
	6		6		3

czyli równosc jest prawdziwa tylko ze trzeba ją udowodnic: sprawdzam dla n=1 L=1²=1

	1(1+1)(2*1+1)		2*3
P=		=		=1 działą teraz oznaczam sobie:
	6		6

	n(n+1)(2n+1)		n(n+1)(2n+1)		6(n+1)2
L=12+22+32+....+n2+(n+1)2=		+(n+1)2=		+		=
	6		6		6

	n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2		2n3+9n2+13n+6
		=
	6		6

	n(n+1)(2n+1)
teraz biore sobie prawa strone rownosci czyli		i podstawiam w miejsce n
	6

wyrazenie n+1

	(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)		2n3+9n2+13n+6
P=		=		czyli dowiodłem ze L=P
	6		6

oczywiscie nie pisałem tu kazdego przekształcenia

Nati: ale jest to prawdą czy fałszem, bo sie juz pogubiłam

Nati: nie odświeżyłam strony

Mateusz: No przeciez napisałem na podstawie pierwszego kroku indukcyjnego i drugiego wykazałem prawdziwosc tego twierdzenia w pierwszym dla n=1 w drugim dla dowolnej n+1 liczby naturalnej otrzymałem te same wyrazenia po lewej stronie jak i prawej wiec jest to prawda.

Nati: Chyba zaczynam rozumieć Dziekuje bardzo

Mateusz: aha

AS: Korzystam z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3*x² + 3*x + 1 Dla x = 1,2,3,...,n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 = 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)³ − n³ = 3*n² + 3*n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3*(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3*(1 + 2 + 3 + ... + n) + n*1 (n + 1)³ − 1³ = 3*S + 3*n/2*(n + 1) + n n³ + 3*n² + 3*n + 1 − 1 = 3*S + 3/2*n² + 3/2*n + n |*2 2*n³ + 6*n2 + 6*n + 2 = 6*S + 3*n2 + 3*n + 2*n 6*S = 2*n³ + 3*n² + n S = 1/6*n*(n + 1)*(2*n + 1) co należało wykazać Wykorzystałem wzór 1 + 2 + 3 + ... + n = n/2*(n + 1)