Nie mam pomysłu jak uporać się z tymi zadaniami. Magda: 1. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, którego a5 = 2 i a100 = 97. 2. Wyznacz wartość k, dla której ciąg (3k2 – 2k + 3, k2 – k + 1, −2k2 + k + 5) jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz wyrazy tego ciągu. 3. Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) wyraża się wzorem Sn = 6n – 3n2. a) Napisz wzór na n−ty wyraz tego ciągu. b) Wykaż, że ten ciąg jest arytmetyczny 4. Rozwiąż równanie 2+5+8+…+x = 392, gdzie lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego. 5. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), w którym a1=8,5 i r=2.2

Mati: 1. a₁=? r=? a₅=2 a₁00=97 a₁00=a₅+95r 97=2+95r 95=95r r=1 a₁=2−4 a₁=−2 odp: a₁=−2,r=1 2. (3k² – 2k + 3, k² – k + 1, −2k² + k + 5) − c.arytmetyczny k² – k + 1−(3k² – 2k + 3)=−2k² + k + 5−(k² – k + 1) k² – k + 1−3k²+2k−3+2k²−k−5+k²−k+1=0 k²−k−6=0 Δ=1+24=25 √Δ=5

	1+5		1−5
k1=		k2=
	2		2

k₁=3 k₂=−2 odp: k∊{−2.3}.

Kamil: Dziękuję Mati zadanie 1 dobrze udało mi się rozwiązać dzięki Tobie mogłam sprawdzić wynik. teraz pracuje na zadaniem drugim.

Mati: 3. S_n=6n−3n² S_n=a_n−S_n−1, n∊N₊ ⋀ n≥2 S_n−1=6(n−1)−3(n−1)² S_n−1=6n−6−3(n²−2n+1) S_n−1=6n−6−3n²+6n−3 S_n−1=−3n²+12n−9 a_n=S_n−S_n−1 a_n=6n−3n²−(−3n²+12n−9) a_n=6n−3n²+3n²−12n+9 a_n=−6n+9=9−6n spr.: a₁=S₁=6*1−3*1²=3 a₁=9−6*1=3 Zatem a_n=9−6n dla n∊N₊ a_n+1=9−6(n+1) a_n+1=9−6n−6 a_n+1=3−6n a_n+1−a_n=3−6n−(9−6n) a_n+1−a_n=3−6n−9+6n a_n+1−a_n=−6 = const. Zatem ∧ a_n+1−a_n=−6 = const. − ciąg jest arytmetyczny ^n∊N₊

Mati: 2+5+8+...+x=392 ^{c.arytmetyczny} a₁=2 a_n=x, n∊N₊ r=3 S_n=392

	a1+a1+(n−1)*r
Sn=		*n
	2

	2+2+3(n−1)
392=		*n /*2
	2

784=(4+3n−3)*n 784=(3n+1)*n 784=3n²+n 3n²+n−784=0 Δ=1+4*3*784=1+9408=9409 √Δ=97

	−1−97		−1+97
n1=		n2=		=16
	6		6

<0 _n.s.w.z n=16 a₁6=x=a₁+15*r=2+15*3=2+45=47 odp: x=47

Mati: 5. a₁=8,5 r=2,2 n=10 ∊N₊

	2a1+(n−1)*r
Sn=		*n
	2

S_n=... . . . S_n=184.