Proszę o małą wskazówkę - nierówność z pierwiastkiem Ola: √x−2 + x >4 przeniosłam x na prawo i obustronnie obie strony podniosłam do kwadratu, otrzymałam potem nierówność kwadratową − x² +9x − 18 > 0 delta 9, √9=3 x₁=3 x₂= 6 narysowałam parabolę i po uwzględnieniu dziedziny x ≥ 2 mam ostateczny przedział x należy do zbioru (3 ; 6 ) Ale gdy podstawiam do tematu nierówności np. liczbę 7, 8, 9 itd. spoza przedziału (3, 6) to nierówność także jest spełniona a nie powinna. I właśnie nie wiem dlaczego dla tych liczb spełnia a nie powinna spełniać. Proszę o wskazówkę. Ps. Próbowałam też innego sposobu − po podniesieniu nierówności obustronnie do kwadratu dałam moduł na |x−2| ale to nic nie zmienia w rozwiązaniu bo pierwszy przypadek potwierdza wynik (3 ; 6) a drugi przypadek jest zbiorem pustym. Gdzie tu jest błąd w moim rozumowaniu?

ICSP: D : x ≥ 2 √x−2 > 4 − x teraz rozbijam na przypadki : 1^o 4−x < 0 ⇒ x > 4 − nierówność spełniona zawsze 2^o x ∊ <2;4> √x−2 > 4 − x ⇒ x−2 > 16 − 8x + x² ⇒ x² − 9x + 18 < 0 ⇒ x ∊ (3 ; 6) ale uwzględniając rozwiązywanie dla przypadku mam x ∊ (3;4> Ostateczna odpowiedź to suma rozwiązań z dwóch przypadków : x >3

Ola: No tak, ale jak podstawiam do nierówności np. 11 to tez jest spełniona, a nie powinna skoro 11 nie należy do zbioru rozwiązań

ICSP: Przyjrzyj się dokładnie temu co napisałem Dla każdej liczby x>3 nierówność jest spełniona. Twoje rozwiązanie jest blednę.

Ola: Rozumiem, to prosze wytłumacz mi, a) dlaczego rozpatrujemy ten przypadek 1. b) jak zrozumiec przypadek 2? Skąd się wziął ten przedział? I czy nie mozna po prostu podnieść obustronnie do kwadratu i nie rozpatrywać tych przypadków?

ICSP: Aby zrozumieć mój tok rozumowania musisz odpowiedzieć sobie na jedno pytanie : Jakie wartości może przyjmować pierwiastek stopnia parzystego Jeżeli potrafisz odpowiedzieć na to pytanie zadanie nie powinno być dla ciebie problemem.

Ola: Tylko wartości wieksze lub równe zero. Tylko nie wiem czy jedyna możliwość jest w tych przypadkach?

Ola: Już rozumiem ten 2 przypadek to założenie, że 4−x jest dodatnie lub zerowe wraz z uwzględnioną dziedziną Prosze napisz mi czy tak się zawsze rozwiązuje tego typu nierówności, na dwa przypadki, abym wiedziała na przyszłość.

ICSP: skoro odp teraz mając równanie : √x−2 + x > 4 oczywiste jest przejście : √x−2 > 4 − x . Teraz wiemy że pierwiastek przyjmuje wartość ≥ 0 więc po lewej stronie będziemy mieli liczbę nieujemną Wiemy również że nierówność(równanie) możemy podnosić do kwadratu tylko w dwóch przypadkach : 1^o Wiemy ze dwie strony nierówności są nieujemne. 2^o Wiemy że dwie strony nierówności są ujemne( zalecam unikanie tego przypadku gdyż jest tutaj pewna pułapka) Wracam do nierówności. Wiemy że lewa strona jest nieujemna. Zatem aby podnieść do kwadratu prawa również musi być nieujemna. Teraz pytanie co się stanie gdy prawa będzie ujemna? Oczywiście nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę bo przecież : liczba nieujemna > liczby ujemnej Stąd pojawiają się dwa przypadki : 1^o prawa strona jest ujemna − każda liczba x należąca do dziedziny spełnia tą nierówność 2^o prawa strona jest nieujemna − mogę podnieść nierówność do kwadratu. Cała filozofia.

Ola: no tak, to logiczne, a ja myślałam, że tak sobie hop siup podniosę obie strony do kwadratu Bardzo, bardzo serdecznie dziękuję za cierpliwość do mnie i wytrwałość w pełnym rozjaśnieniu mi tego tematu. Już teraz zawsze tak będę rozwiązywać. Dziękuję