Błagam pomóżcie z układem ! ~JIM: Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych układ równań x³+y³=1 x²y+2xy²+y³=2

AS: Jest to układ równań jednorodnych. Rozwiązujemy podstawieniem y = t*x (t ≠ 0) x³ + (t*x)³ = 1 x² *t*x + 2*x*(t*x)² + (t*x)³ = 2 x³(1 + t³) = 1 x³(t + 2*t² + t³) = 2 stronami dzielimy

x3(t + 2*t2 + t3)		2
	=
x3(1 + t3)		1

t³ + 2*t² + t = 2 + 2*t³ t³ − 2*t² − t + 2 = 0 t²(t − 2) − (t − 2) = 0 (t − 2)*(t − 1)*(t + 1) = 0 => t1 = 2 , t2 = 1 , t3 = −1 Stąd juz mamy dla t1 = 2 y = 2*x , podstawić do jednego z równań podstawowych i wyliczyć x i y Podobnie postąpić z t2 i t3 , następnie sprawdzić czy pierwiastki znalezione sprawdzają układ równań i napisać odpowiedź.

Bogdan: albo:

⎧	x3 + y3 = 1 ⇒ (x + y)(x2 − xy + y2) = 1
⎩	y(x2 + 2xy + y2) = 2 ⇒ y(x + y)2 = 2

	(x + y)(x2 − xy + y2)		1
Dzielimy równania stronami:		=		, −x ≠ y ≠ 0
	y(x + y)2		2

Po uproszczeniu i uporządkowaniu mamy: 2x² − 3xy + y² = 0 ⇒ (2x − y)(x − y) = 0 y = 2x lub y = x x³ + (2x)³ = 1 lub x³ + x³ = 1 itd.