dowód liczby niewymiernej rafał: Udowodnij, że ³√100 jest liczbą niewymierną. Dowód nie wprost: Załóżmy, że ³√100 jest liczbą wymierną, zatem możemy przedstawić ją w postaci ułamka

	m		m3
zwykłego.		= 3√100 ⇒		= 100 / * n3 ⇒ m3 = 100n3. I teraz czy
	n		n2

wystarczy napisać że liczby m³ i n³ mają po rozkładzie na czynniki pierwsze 3 pary liczb, natomiast po rozłożeniu 100 na liczby pierwsze będzie miała ich znacznie więcej [np.: 2² * 5² = 2 * 2 * 5 * 5]. Zatem ilość liczb różnić będzie się po lewej stronie oraz po prawej. Zatem sprzeczność. Może być coś takiego? Jeżeli nie to czy mógłby ktoś przedstawić prawidłowy dowód?

Saizou : np. liczba ³√100 jest niewymierna x³−100=0 na mocy tw. o pierwiastkach wymiernych możliwymi wymiernymi rozwiązaniami są

±1,±2,±4,±5,±10,±,20,±25,±50
	, ale żadna z powyższych licz nie spełnia równania
±1

x³−100=0, zatem liczba ³√100 musi być wymierna

rafał: typ sposobem zrobiłem już dawno, lecz tutaj trzeba tak jak napisałem wyżej. więc jakiś expert mógłby sprawdzić?

rafał: pomocy

rafał: aż takie trudne?

Maniek: Nie chce mi się, ale pomogę. Zrobie to na przykładzie liczby √5 Zakładam, że jest to liczba wymierna, więc jeśli mam rację na końcu dojdę do sprzeczności. A więc: √5 = ^p_q /()² 5 = p²/q² /(q²) 5q² = p² Jak zapewne wiemy, p i q to liczby względnie pierwsze, więc ich NWD to 1 I teraz sprawdzamy czy prawa strona (PS) i lewa strona (LS) są podzielne przez 5 1. p nie dzieli się przez 5 i q nie dzieli się przez 5 Wtedy LS dzieli się przez 5 (bo q² mnożymy razy 5), a PS nie dzieli się przez 5 => sprzeczność 2. p dzieli się przez 5, q nie dzieli się przez 5 Wtedy LS dzieli się przez 5, ale nie dzieli się przez 25 (bo q² mnożymy razy 5), a PS dzieli się przez 5 i przez 25 => sprzeczność 3. p nie dzieli się przez 5, q dzieli się przez 5 Wtedy LS dzieli się przez 25 (bo q² mnożymy razy 5), a PS nie dzieli się przez 5 => sprzeczność

Maniek: We wszystkich możliwościach sprzeczności więc założenie jest fałszywe, a co za tym idzie √5 jest niewymierny. Zrób tak samo ze swoim przykładem, a potem wrzuć to sprawdzę, a teraz idę upolować coś na obiad

Amaz:

m
	jest ułamkiem nieskracalnym, zatem m i n nie mogą być jednocześnie parzyste. Przypadki,
n

gdzie m i n są nieparzyste są proste do rozpatrzenia, więc zostawiam go Tobie. Tak samo prosty jest przypadek, gdy n parzyste, m nieparzyste, to także zostawiam Tobie. Jedyny trudny przypadek, to taki gdzie m jest parzyste, n nieparzyste. Zapiszmy m jako 2k, wtedy: (2k)³ = 100n³ 8k³ = 100n³ /:4 2k³ = 25n³ Po lewej stronie mamy liczbę parzystą, po prawej nieparzystą. Sprzeczność.

AC: Twoje rozumowanie jest błędne, bo tak myśląc wykażesz ³√8 też jest liczbą niewymierną m³ = 8 n³ Cytat zmodyfikowany: "wystarczy napisać że liczby m³ i n³ mają po rozkładzie na czynniki pierwsze 3 pary liczb, natomiast po rozłożeniu 8 na liczby pierwsze będzie miała ich znacznie więcej [np.: 8 =2 * 2 *2]. Zatem ilość liczb różnić będzie się po lewej stronie oraz po prawej. Zatem sprzeczność. "

AS: Zakładam,że ³√100 jest liczbą wymierną czyli

m
	= 3√100 czyli m = n*3√100 czyli m3 = 100*n3
n

Wykluczam przypadek,że m i n są liczbami parzystymi,bo są podzielne przez 2 Przypadek 1 m = 2*p + 1 (nieparzyste) , n = 2*r (parzyste) (2*p + 1)³ = 100*(2*r)³ 8*p³ + 12*p² + 6*p + 1 = 100*8*r³ 2*(4*p³ + 6*p² 3*p) + 1 = 800*r³ Lewa strona nieparzysta,prawa strona parzysta , sprzeczność Przypadek 2 m = 2*p , n = 2*r + 1 (2*p)³ = 100*(2*r + 1)³ 8*p³ = 100*(8*r³ + 12*r² + 6*r + 1) |:4 2*p³ = 25*(2*(4*r³ + 6*r² + 3*r) + 1) Lewa strona parzysta,prawa strona nieparzysta , sprzeczność Przypadek 3 m = 2*p + 1 , n = 2*r + 1 (2*p + 1)³ = 100*(2*r + 1)³ 8*p³ + 12*p² + 6*p + 1 = 100*(8*r³ + 12*r² + 6*r + 1) 2*(4*p³ + 6*p² + 3*p) + 1 = 100*(2*(4*r³ + 6*r² + 3*r) + 1) Lewa strona nieparzysta,prawa strona parzysta , sprzeczność Wniosek: Nie istnieje ułamek,którego wartością byłby ³√100 czyli ³√100 jest liczbą niewymierną.

Maniek: AS ma racje, ale to chyba AC

Amaz: Tak tylko pytanie, czy AS nie wykonał zbyt dużej pracy. Bo gdyby założyć, że wiemy iż sześcian liczby nieparzystej jest nieparzysty i sześcian liczby parzystej jest parzysty, to zadanie jest dużo łatwiejsze i krótsze.

Jack: Wymyślam wielomian: W(x)=x³−100. Pierwiastkiem W(x) jest ³√100. Z tw. o wymiernych pierwiastkach wiadomo, że wszystkie możliwe pierwiastki mają w tym przypadku postać któregoś z dzielników 100. NIe ma wśród nich liczby ³√100, zatem nie jest ona wymierna.

Jack: sorry, Saizou − nie zauważyłem Twojego wpisu (ciekawy wniosek wysunąłeś )

AS: Uwaga do postu Saizou − końcowy wniosek to chyba ³√100 musi być niewymierna.

Saizou : tak miało być że ³√100 musi być NIEwymierna głodny chochlik był na śniadaniu

adaś: Saizou dlaczego →7 paź 12:18 w mianowniku jest plus minus jeden ?

Saizou : a jakie są dzielniki liczby 1

adaś: ale chodzi mi głównie o ten mianownik dlaczego w ogóle te mnianownik wyznaczyłeś?

Saizou : a co mówi tw. o pierwiastkach wymiernych

adaś: już wiem