... PuRXUTM: mam takie zadanie ale nie jestem pewien treści bo jest trochę nieczytelne Pokazać że dla każdej liczby całkowitej n liczba n⁵−n jest podzielna przez 30

Ajtek: n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)=.... Coś w ten deseń będzie.

Jack: wsk. rozpisz do postaci 'nawiasów' możliwie niskiego stopnia.

PuRXUTM: Ajtek to to wiem ale jak dokładnie bo wychodzi n(n−1)(n+1)(n²+1) no i co teraz? wiadomo że jest podzielne przez 6 bo iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych− chociaż nie wiem bo jak n=0 ?

Ajtek: Teraz trzeba pokazać że n²+1 jest podzielne przez 5 dla każdego całkowitego n .

Jack: to udowodnij że jest podzielne przez 5. Wstawiaj liczby postaci n=5k, n=5k+1, n=5k+2... n=5k+4 i w tej sposób dowiedź podzielności przez 5. 30|0

Jack: Ajtek, niekoniecznie akurat n²+1. Całe wyrażenie niech sprawdzi pod tym kątem, widać że samo n²+1 nie jest podzielne przez 5 dla każdego n (chociażby dla n=5).

AC: Tw Eulera φ(6) =2 n² ==1 mod 6 ⇒ n⁴ == 1 mod 6 ⇒ n⁵ == n mod 6 czyli 6 | n⁵ − n Z MTF (Fermata) n⁵ == n mod 5 ⇒ 5 | n⁵ − n Wniosek liczba dzieli się przez 5*6 czyli przez 30

Ajtek: Jack jest po 20−stej, a ja mam dzisiaj imieniny, mogę już nie myślec .

Saizou : n⁵−n=n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)(n²−4+5)= n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1) co na usatysfakcjonowało

Mila: No Cię złapałam, Ajtek, wszystkiego najlepszego Arturze?, Brunonie, Marku?

Saizou : wszystkiego najlepszego Ajtek (Arturze )

Ajtek: Dziękuję Mila, Saizou. A imię moje chyba jest oczywiste .

Piotr: Wszystkie najlepszego Ajtek nie przesadz z

adaś: n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1) , skąd to się wzieło 5n(n−1)(n+1)?

Ajtek: Dzięki Piotr. Nie przesadzę, jak nie będę już mógł, to pójdę spać .

Saizou : n(n−1)(n+1)[ (n−2)(n+2)+5] wymnażamy nawiasy np. a(b+c)=ab+ac

Eta: Ooo Wszystkiego najlepszego Ajtek

Ajtek: Dziękuję Eta . I dobry wieczór .

Aga1.: To i ja się dołączę do życzeń. Wszystkiego najlepszego Arturze.

Ajtek: Dziękuję Aga1. . I również dobry wieczór .

PuRXUTM: i ja też

Jack: Najlepszego Arturze!

Ajtek: Jack, PuRXUTM dzięki .

adaś: nadal nie rozumiem co Saizou zrobił tutaj ,pomóżcie. n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1) to przepisaliśmy→ (n−2)(n+2) a skąd to się wzięłło→ +5n(n−1)(n+1)?

Saizou : n²+1=n²−4+5=n²−2²+5=(n−2)(n+2)+5 n(n−1)(n+1)[ (n−2)(n+2)+5 ] załóżmy że a=n(n−1)(n+1) b=(n−2)(n+2) 5=c a(b+c)=ab+ac

adaś: Dzięki

Saizou : proszę bardzo