Godzio:
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie ⇒ jest w nim ciągła (nie na odwrót, przykład f(x) = |x| −
nie jest różniczkowalna w x = 0, a jest ciągła)
Funkcja jest różniczkowalna w x
o to znaczy, że istnieje granica:
| | f(x) − f(x0 | |
limx→x0 |
| , pokażemy, że funkcja spełniająca ten warunek (istnienie |
| | x − x0 | |
granicy) jest ciągła w x
0, sprawdźmy zatem z definicji czy tak jest
Przypomnijmy, funkcja jest ciągła gdy:
lim
x→x0(f(x) − f(x
0) = 0, liczymy:
| | f(x) − f(x0 | |
limx→x0(f(x) − f(x0) = limx→x0 |
| * (x − x0) = f'(x0) * 0 = 0 |
| | x − x0 | |
Co kończy dowód