prwdopodobieństwo pauli: Jeśli P(A)=1/3 i P(B) = 1/2 , to : a) 1/2 ≤ P(A∪B)≤ 5/6 ? b) 0 ≤ P(A∩B)≤1/3 ? Czy dobrze to robię a) P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/3 iloczyn b) P(A∩B) = P(A) * P(B) = 1/2 * 1/3 suma ? proszę, pomóżcie

JK: Nie do końca ok. Napisałaś P(A∪B) = P(A) + P(B), ale tak jest tylko, gdy A i B są niezależne. Tu nie ma takiej informacji, więc wzór jest taki P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Tak samo P(A∩B) = P(A) * P(B) zachodzi tylko wtedy, gdy A i B są niezależne. Zacznijmy od a). Ponieważ A ⊆ A∪B, wiec P(A) ≤ P(A∪B), podobnie P(B) ≤ P(A∪B). (z monotoniczności). A więc ponieważ u nas P(B) = 1/2, więc 1/2 ≤ P(A∪B). Druga część nierówności bierze się ze wzoru P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Ponieważ P(A∩B) ≥ 0, więc P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) = 1/2 + 1/3 = 5/6. A więc mamy 1/2 ≤ P(A∪B) ≤ 5/6. Teraz podpunkt b). Zawsze mamy P(X) ≥ 0, dla każdego zbioru X, więc w szczególności 0 ≤ P(A∩B). Ograniczenie górne bierze się z tego, A∩B ⊆ A jak i również A∩B ⊆ B (z definicji przecięcia zbiorów). A więc z monotoniczności P(A∩B) ≤ P(A) i P(A∩B) ≤ P(B). Bardziej ogranicza P(A), bo jest mniejsze więc mamy P(A∩B) ≤ 1/3. Łącznie 0 ≤ P(A∩B) ≤ 1/3.

pigor: ... widzę to tak : z definicji i własności prawdopodobieństwa : A∩B⊂A⊂B⊂AUB ⇒ 0≤ P(A∩B)≤ P(A)≤ P(B)≤ P(AUB)≤ P(A)+p(B)≤ 1 dlatego stąd dla danych P(A)=¹₃ i P(B)=¹₂ mamy a) P(B)≤ P(AUB)≤ P(A)+P(B) , czyli ¹₂≤ P(AUB)≤ ¹₃+¹₂ ⇔ ⇔ ¹₂≤ P(AUB)≤ ²₆+³₆ ⇔ ¹₂≤ P(AUB)≤ ⁵₆ ; b) 0≤ P(A∩B)≤ P(A) , czyli 0≤ P(A∩B)≤ ¹₃ . ...

pauli: Bardzo, bardzo dziękuję.