.. asdf: Granice ciagu: 1)

	√2n2 − 4n + 7 − √2n
limn → ∞(		) =
	5

	n2 + 2n − n2 + 2n
limn → ∞(		=
	5(√n2 + 2n + √n2 − 2n

	4n
limn → ∞(		) =
	2   2   5(√n2(1 + ) + √n2(1 − )   n   n

	4n		4n		2
limn → ∞(		) = limn → ∞(		) =
	5n(√1 + 0 + √1 + 0)		10n		5

2) lim_{n → ∞}(√2n² − 4n + 7 − √2n) =

	2n2 − 4n + 7 − 2n2
limn → ∞(		=
	√2n2 − 4n + 7 + √2n

	−4n + 7
limn → ∞(		) =
	√n2(2 − 0 + 0) + n√2

	n(−4 + 0)		−4n		−2
limn → ∞(		) = limn → ∞(		) =		= −√2
	n(√2 + √2)		2n√2		2√2

Proszę o sprawdzenie, chodzi mi o to, czy nie popełniam błędów w rachunkach.

Godzio: Dziwne przejścia ... z linijki 1 do 2, co tam się stało ? I jeszcze jedno:

	2
Jak liczysz granice to pisząc lim (		) = 0 opuszczasz granicę, a w obu przypadkach tego
	n

nie zrobiłeś, ten "n" najpierw skracasz, a później przechodzisz do granicy (lub na raz obie te rzeczy)

Krzysiek: wyniki dobre ale znów ten sam błąd co ostatnio... nie zapisuj: (2−0+0) tylko pisz: (2−4/n +7/n² )

asdf: Dziękuję za uwagi. Co do szybkiego skracania: mam to wszystko w zeszycie, po prostu gdybym wszystko zapisywał to nie zmiescilo by sie to w linijce, a edytor taki, a nie inny − bym mial duzy problem, zeby sie z tym polapac. Przejscie z pierwszej na druga linijke: użyłem odrazu wzoru a² − b² = (a + b)(a − b), w mianowniku ( w nawiasie w drugiej linijce) jest to, przez co przemnożyłem, użylem tzw. "jedynki"

Krzysiek: w pierwszej linijce może i skorzystałeś z tego wzoru ale chyba 2 przykład pomylił się z pierwszym

Godzio:

	drugi przykład
Popatrz jeszcze raz Pierwszy przykład to
	5

A dalej ciągniesz już ten prawidłowy

asdf: odwrotnie Ale to niech te 2 przyklady mam za soba, dowiedziałem się czego miałem się dowiedzieć i dziękuję Wam bardzo Jak co to napisze

asdf: Zaczynając pochodne, wystarczy taki poziom, czy trzeba nieco więcej potrafić? W poniedzialek mam fizyke i rozpoczecie/wprowadzenie od/do pochodnych i nie wiem czy dac sobie spokoj z tym, czy jeszcze troche to doszlifowac...Mało czasu mam, bo natomiast we wtorek zaczynam od analizy matematycznej (sumy sinusow − kazala sobie to powtorzyc − a w moim przypadku nauczyc − matematyka podstawa na maturze i teraz trzeba wszystko nadrabiac )

Krzysiek: na fizyce na pewno nie będziesz liczył pochodnych z definicji (czyli liczył granic) więc znajomość granic na nic się Tobie nie przyda...

Godzio: Bardziej granice funkcji by się przydały do pochodnych, a zwłaszcza te podstawowe typu:

sinx
	→ 1 przy x → 0 itp.
x

asdf: Korzystam z etrapez, a on zaczął od granicy ciągu...to i ja robię. W sobote/niedziele w takim razie przysiade do granicy funkcji.....ale tej nauki sie nazbieralo....

asdf:

	n + 1 − n
limn→∞(3√n + 1 − √n) = limn→∞		=
	(3√n + 1)2 + √n(√n + 1) + n2

1
	= 0
∞

jest to prawidłowe?

Krzysiek: granica to −∞ chyba, że zamiast √n jest ³√n to wtedy jest ok

asdf: tak jak napisałem

Krzysiek: to wtedy w liczniku masz: n+1−(√n)³ a w mianowniku na końcu jest 'n' i największa potęga w mianowniku to: '1' (n¹) w liczniku: 3/2 ((√n)³ ) zatem granica zmierza do ∞ , ale jest minus przy (√n)³ więc zmierza do −∞

asdf: w odpowiedzi jest zero

asdf: jak mam, np taki:

	√n2 + 6 − n
limn→∞		=
	√n2 + 2 − n

	(√n2 + 6 − n)(√n2 + 2 + n)
limn→∞		=
	n2 + 2 − n2

	(√n2 + 6 − n)(√n2 + 2 + n)
limn→∞		= więc odp to: ∞....a w odpowiedziach jest
	2

inaczej

Krzysiek: jeszcze raz skorzystaj z tego wzoru do (√n² +6 −n ) co do tamtego przykładu, nie może być zero (albo jest błąd w odpowiedziach albo jest zła treść tu lub w książce)

asdf: Kurde, wychodzi mi teraz 3, a jest inna odp, zaraz napiszę obliczenia..Co do przykładu, do którego masz wątpliwości to tak − zamiast √n jest ³√n

Krzysiek: ja nie miałem wątpliwości, dla mnie to na pewno nie było 0 co do tego przykładu, również mi 3 wychodzi.

asdf:

	√n2 + 6 − n
limn→∞		=
	√n2 + 2 − n

lim_n→∞ U{(√n² + 6 − n)(√n² + 2 + n){n² + 2 − n²} =

	(√n2 + 6 − n)(√n2 + 6 + n)(√n2 + 2 + n)
limn→∞		=
	2(√n2 + 6 + n)

	(n2 + 6 − n2)(√n2 + 2 + n)
limn→∞		=
	2(√n2 + 6 + n)

	3(√n2 + 2 + n)
limn→∞		= U{3(√n2 + 2 + n)(√n2 + 6 − n)}{n2 + 6 −
	√n2 + 6 + n

n²} = ... i ciągle błądzę w kółku

asdf: To można uznać, że błąd jest w odpowiedziach? Chciałem jeszcze jedną lekcje obejrzeć, ale chyba nie zdążę

Krzysiek: ostatnia równość jest zbędna... korzystasz z tego wzoru ponieważ masz symbol nieoznaczony.. √n² +2 −n →∞−∞ = ...nie wiadomo do czego a już: √n²+2 +n →∞+∞=∞

asdf: To po co tak naprawdę wszystko tak się wyprowadza? Skoro można już na samym początku poskracać co się da i jest...

Krzysiek: bo przecież na początku masz symbol nieoznaczony a korzystając z tego wzoru pozbywasz się go... jak już napisałem: ∞−∞ to nie jest 0... nie wiemy do czego to zmierza.

asdf: Juz czaje, rozumiem tez, ze ∞ − ∞ ≠ 0, chyba się skuszę na jedną lekcje bedziesz do okolo pierwszej jak co?