... Olka: x⁴ + 2x³ −13x² + 2x +1 = 0

♊: wszystko jest opisane bardzo dobrze krok po kroku tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html

Olka: tak tylko to jest na rozszerzeniu a ja mam podstawe

Darek: Olka sprawdz czy dobrze spisalas ten wielomian bo mi nic nie wychodzi, zadna z wartosci od −10 do 10 (skala co 0,2, czyli lp: −10, −9,8, −9,6, ..., 9,8, 10 ) dlatego mam prosbe abys sparwdzila ten przyklad

kamil: ten wielomian nie ma pierwiastow

Jacek Karaśkiewicz: Oznaczmy w(x) = x⁴ + 2x³ − 13x² + 2x + 1 Interesuje nas rozwiązanie równania w(x) = 0. Wielomian w(x) ma pierwiastki − łatwo zauważyć, że w(1) < 0, w(3) > 0, a ponieważ wielomian jest f. ciągłą, więc ∃_{c ∈ (1, 3)} w(c) = 0. w(x) = x⁴ + 2x³ − 13x² + 2x + 1 = (x² − 3x + 1)(x² + 5x + 1) w₁(x) = x² − 3x + 1

	3 − √5		3 + √5
w1(x) = 0 ⇔ x =		∨ x =
	2		2

w₂(x) = x² + 5x + 1

	−5 − √21		−5 + √21
w2(x) = 0 ⇔ x =		∨ x =
	2		2

Mamy więc 4 pierwiastki:

	3 − √5
x1 =
	2

	3 + √5
x2 =
	2

	−5 − √21
x3 =
	2

	−5 + √21
x4 =
	2

Darek: Jesli mozna wiedziec, skad wiedziales jak rozbic rownanie 4 stopnia na iloczyn 2 rownan 2 stopnia to cos w stylu "rachunku pamieciowego" ?

Krzysiek: darek cos ty tam popisal

Darek: Pan Jacek cos jakos to rozpisal xd jestem ciekawy jak bo bym sie doksztalcil bo ten wielomian, jak widzisz ma ... dosc specyficzne rozwiazania zostalo napisane w(x) = x⁴ + 2x³ − 13x² + 2x + 1 = (x² − 3x + 1)(x² + 5x + 1) w pamieci bym tego nie zrobil baa nawet na kartce BTW mam problem z pochodna xd mzoe ktos zerknac: https://matematykaszkolna.pl/forum/15519.html

Krzysiek: ja tez nie

Jacek Karaśkiewicz: Ogólnie każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (w ciele ℝ). Faktoryzacja taka jest jednak dosyć trudnym problemem (w ogólności). W tym przypadku mamy jednak do czynienia ze specyficznym typem równania − równaniem zwrotnym 4−tego stopnia. Równanie zwrotne 4−tego stopnia to równanie o postaci: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0. Przejdźmy do naszego równania. x⁴ + 2x³ − 13x² + 2x + 1 = 0 Dla x = 0, mielibyśmy sprzeczność 1 = 0, więc ponieważ x ≠ 0, to możemy podzielić równanie stronami przez x².

	2		1
x2 + 2x − 13 +		+		= 0
	x		x2

	1		1
(x2 +		) + 2 * (x +		) − 13 = 0
	x2		x

	1
Podstawmy y = x +		.
	x

(y² − 2) + 2y − 13 = 0 y² + 2y − 15 = 0 y = −5 ∨ y = 3

	1
1) x +		= −5 ⇒ x2 + 5x + 1 = 0
	x

	1
2) x +		= 3 ⇒ x2 − 3x + 1 = 0
	x

A więc możemy z tego liczyć już pierwiastki wielomianu. Oczywiście jak najbardziej prawidłowy jest już zapis x⁴ + 2x³ − 13x² + 2x + 1 = (x² + 5x + 1)(x² − 3x + 1).