granice ciagu asdf:

lim		3n − 3		lim		n(3 − 0
	(		=		(		=
n → ∞		√n2 + 1		n → ∞		| n + 1 |

lim		3n
	(		) = 3
n → ∞		n

dobrze? Ponieważ nie jestem pewien, czy dla n → ∞: √n² + 1 = | n + 1 | = n + 1

asdf:

lim		3n − 3
	(		) =
n → ∞		√n2 + 1

lim		3n		3n
	(		=		= 3
n → ∞		√n(n + 0)		n

teraz dobrze?

Basia: a od kiedy to n²+1 = (n+1)² i 3n−3 = n(3−0)

asdf:

lim		3n − 3
	(		=
n → ∞		√n2 + 1

lim		3   n(3 − )   n
	(		)
n → ∞		1   √n(n + )   n

na czerwono dąży do zera

Basia:

3n−3		3n(1−1n)		3n(1−1n)
	=		=		=
√n2+1		√n2(1+1n2)		n√1+1n2

3(1−1n)		3(1−0)
	→		= 3
√1+1n2		√1+0

asdf: Zapis z 21²³ jest prawidłowy?

asdf:

Ajtek: Poprawny jest zapis Basi jako całość. Witam Basia, asdf .

asdf: Witam, a mój jest zły?

Krzysiek: nie, ponieważ częściowo przechodzisz do granicy (opuszczając wyrazy które zmierzają do zera)

Krzysiek: czyli teraz na to pytanie to tak, jest zły

Basia: nie bardzo; za wcześnie "gubisz" tam te ułamki trzeba pokazać co dąży do 0 i już wtedy pominąć symbol granicy

Basia: Witam Panów

asdf: przeciez:

lim		3n
	(		) =
n → ∞		√n2 + 1

lim		3n
	(		) =
n → ∞		√n2(1 + 0)

lim		3n
	(		= n → ∞, więć n2 = |n| = n
n → ∞		|n|

lim		3n
	(		) = 3
n → ∞		n

asdf: teraz jest prawidłowo?

Krzysiek: przekonasz się, jak poznasz granicę z liczbą 'e' ,że przechodzenie do granicy częściowo jest błędne

	1
przykład: limn→∞ (1+		)n =limn→∞ (1+0)n =1 ...
	n

tylko, że ta granica nie jest równa 1...błąd jest w pierwszej równości

Basia: nie jest prawidłowo bo √n²+1 ≠ √n²(1+0) nie możesz liczyć granicy "z kawałka" wyrwanego ze środka wyrażenia już Ci to Krzysiek napisał

asdf: licznik już pominę:

lim		3n
	(		=
n → ∞		√n2 + 1

lim		3n
	(		) =
n → ∞		1   √n2(1 + )   n2

lim	3n
		=
n → ∞	√n2(1 + 0)

lim		3n
			) =
n → ∞		√n2

lim	3n
		= 3
n → ∞	n

teraz jest dobrze?

Basia: nadal nie; znowu liczysz granicę "kawałka" wyrwanego ze środka

asdf: Właśnie teraz zauważyłem Basia Twój post, więc jak to powinno być? pokazałabyś jak jest prawidlowo?

Basia: poprawny zapis masz pokazany o 21:27 aż do znaku → (dąży) piszesz lim_n→∞ a to co po lim musi być sobie równe

Basia: napiszę Ci jeszcze raz z tym lim; czekaj

Aga1.: Wynik końcowy poprawny, ale do zapisów można się przyczepić asdf, jeśli nie miałeś granic na wykładzie i ćwiczeniach, to wstrzymaj się jeszcze trochę

asdf: Jak Basia wyciągnęłaś n przed nawias w mianowniku? Nie bardzo rozumiem

1   3n(1 − )   n
n√1 + n1/2

	1		1
tu n w pierwiastku jest do potęgi		, czy jest to		?
	2		n2

asdf: Aga1. Na fizyce miałem wprowadzenie do pochodnych i wektory, a do pochodnych są potrzebne granice funkcji. Tak mi wiadomo...

Basia:

	3n−3
limn→∞		=
	√n2+1

	3n(1−1n)
limn→∞		=
	√n2(1+1n2)

	3n(1−1n)
limn→∞		=
	n√1+1n2

	3(1−1n)		3(1−0)		3*1		3
limn→∞		=		=		=		= 3
	√1+1n2		√1−0		√1		1

dopiero po czerwonym znaku równości mogę zacząć liczyć granice

Trivial: Do pochodnych na fizyce nie są potrzebne granice (przynajmniej na początku).

Ajtek: Zapamiętaj, jeżeli wyciągasz przed nawias coś czego jeden z argumentów nie ma to pojawia się on w mianowniku, np:

	1
3n−3=3n(1+		) jak to wymnożysz to otrzymasz postać wyjściową .
	n

Basia: n²+1 = n²(1+¹_n²) √n²+1 = √n²(1+¹_n²) = n√1+¹_n² czego nie rozumiesz ?

Basia:

	1
oczywiście n1+1 = n2(1+		)
	n2

dalej tak samo rzeczywiście z tym małym u dziwnie wygląda

Basia: n²+1 ale to już chyba łapiesz, że literówka

asdf: Dziekuje Wszystkim za pomoc, @Basia Nadal nie rozumiem, dlaczego w poscie z 21⁴³ jest to złe rozwiązanie, przeciez:

	1
√n2 + 1 = √n2(1 +		= √n2 * 1 = n
	n2

tak samo:

	1		1
√n2 + 1 = √n2(1 +		= √n2 * √1 +		= n * 1
	n2		n2

Aga1.:

	1
1+		≠1
	n2

Ajtek: Napisał to już Krzysiek to nie jest to samo Idąc tym tokiem pogubisz się przy granicach z e tak jak podał:

	1		1
limx→∞(1+		)n=e a nie jeden pomimo iż 1+		teoretycznie jest równe 1.
	n		n

Nie upraszczaj sobie na siłę

asdf:

	1
limn → ∞ p{n2 * √1 +		= limn → ∞ n * √1 + 0 = limn → ∞ n * 1
	n2

teraz dobrze? Bo nie wiem czy błąd zrobiłem w zapisie czy obliczeniach

Basia:

	1
√n2(1+		) ≠ √n2*1
	n2

1
	jest "kawałkiem" tego wyrażenia
n2

po raz nie wiem, który piszę Ci, że nie wolno liczyć granicy z kawałka wyrwanego ze środka wyrażenia inaczej: nie zawsze jest prawdą takie coś lim a_n(b_n+c_n) = lim a_n(b_n+c) gdzie c = lim c_n

asdf: Kurczę, nie mogę znaleźć błędu, szukam i szukam, wynik ten sam, ale jak już wspomnieliscie: zle sa obliczenia. Probuje Was zrozumiec i nie szukam u Was błedu, tylko dlaczego ja popelniam blad Musze to ogarnac

Ajtek: Przeanalizuj dokłdnie wspis Basi z 21:54 i komentarz do niego, tam masz wszystko wyjaśnione.

asdf: Za wczesnie licze granice tak? Ogladalem filmik z etrapez o granicach. Mowil tam, ze lim znika jak n znika. O tym zapomnialem?

Basia: mniej więcej

Basia: raczej powiedziałabym, że nie wolno Ci zacząć wstawiać wartości granicznych tak długo jak długo nie możesz w ogóle pozbyć się lim

Ajtek: Basia, lecą z materiałem jak głupki u asdf. Wczoraj wzory redukcyjne dzisiaj granice, jutro stawiam na pochodne. W trzy dni kupa materiału i weź zapamiętaj "kilkanaście" wzorów.

asdf: Ok, dziękuje bardzo.

asdf: Ja granic nie mialem, mialem na fizyce omowienie co to jest pochodna i prawdopodobnie od tego zaczniemy.. Ogladam materialy z Etrapez, a tam powiedziano, ze do pochodnych potrzebne sa granice, wiec zaczalem od granic, a nie pochodnych. Nawet wykladowca z fizyki powiedzial, ze to jest nie porozumienie − rozmawial z wykladowcami z matematyki, ale oni nie chca zaczac od pochodnych tylko od trygonometrii i liczb zespolonych

Ajtek: Myślałem, że dzisiaj znowu miałeś matmę i dalsza orka była, a to na fizyce miałeś jak rozumiem .

asdf: Nie...matme mam tylko we wtorki To są podstawy z granic, ale nie wydaje mi się to jakos mega trudne, zeby rezygnowac z tego w szkole sredniej i zastąpić to prawdopodobienstwem

Ajtek: Jakie zastępowanie prawdopodobieństwem. Granice wyleciały, prawdopodobieństwo zostało w okrojonej wersjii bodaj.

asdf: Oj bo mecz ogladam i pisze Oczywiscie chodzilo mi o to, zeby prawdopodobienstwo zastapic granicami

Ajtek: Same granice w szkole średniej w sumie nie są do niczego potrzebne.

Basia: Granice wracają na rozszerzenie; dla tych, którzy zaczynają średnią w tym roku. Na razie, muszę coś zjeść

Basia: Pochodne też. Skromnie, ale wracają. Nowa podstawa jest ładnie opisana tutaj http://www.pazdro.com.pl/liceum_i_technikum/matematyka_br_program_nauczania_w_liceach_i_technikach-1

Ajtek: Smacznego życzę. Na rozszerzenie tylko .

asdf: Do niczego to jest potrzebne 2religie/tyg, 2historie/tyg, wiedza o kulturze w klasie maturalnej w technikum informatycznym...Za to jedynie 2 godziny w tygodniu matematyki − tylko pogratulowac oswiacie Pewnie dlatego nie ma granic, bo nie ma na to czasu jak takie przedmioty kroluja w klasie maturalnej

Krzysiek: Czyli wracają do tego co było...może uczą się na błędach

Ajtek: Wracają to cieszy. Co nie zmienia faktu że nadal jest kicha z klasami "profilowanymi". Klasa "biol/chem" ma matme podstawa.

asdf: jak obliczyć taką granicę?

	5n − 2n + 10n
limn → ∞ (
	11n + 5n

	0
10n przed nawias? wychodzi mi wynik		, a odpowiedź jest inna
	∞

Ajtek: CO do religii się zgodzę 1/tygodniowo wystarczy, historia jednak powinna być to moje zdanie.

Krzysiek:

	1
jeżeli wyciągasz 10n i skracasz licznik i mianownik przez to, wtedy masz:		=0
	∞

asdf: Racja, zapomnialem o jedynce Dzieki!

Basia: podziel licznik i mianownik przez 11ⁿ

asdf: można tak? lim_{n → ∞}

	1   1   10n(1 + ( )n − ( )n)   2   5
(		) =
	5   11n(1 + )n)   11

na czerwono dąży do zera, pozostaje:

	10n		10
limn → ∞		= (		)n = 1
	11n		11

Jest dobrze?

Basia: myślisz dobrze, zapisujesz źle

	10		1+(12)n−(15)n
= lim[ (		)n*		] =
	11		1+(511)n

	1+0−0
0*		= 0*1 = 0
	1+0

Ajtek: Nie

	10
(		)n dąży do zera
	11

Zauważ:

	10		10
(		)1=
	11		11

	10		100
(		)2=
	11		121

	10		1000
(		)3=
	11		1331

	10		10000
(		)4=
	11		14641

itd. Mianownik dąży szybciej do nieskończoności niż licznik, zatem całość dązy do zera.

asdf:

	10
Racja, pomylilem, ze (		)n dąży do 0, a nie jedynki
	11

P.S

	a
Jeżeli jest funkcja wykladnicza w postaci ulamka to dazy do jedynki ⇔		a = b tak?
	b

Basia: aⁿ → +∞ dla a>1 1ⁿ=1 → 1 aⁿ → 1 dla a∊(0;1) aⁿ jest rozbieżny dla a<0 jak każdy ciąg geometryczny

asdf: Właśnie o te 'własności' mi chodziło. Dzięki! @Ajtek Tez dziekuje

ZKS: Jeżeli masz lim_{n → ∞} aⁿ oraz a ∊ (0 ; 1) to g = 0.

Ajtek: "Nie za ma co"

Ajtek: Cześć ZKS.

Basia: wróć.................... aⁿ → 0 dla a∊(−1;1) aⁿ jest rozbieżny dla a<−1

ZKS: Witam Ajtek.

asdf:

	23n + 2 + 6n − 2 + 3
limn → ∞ (		) =
	8n + 2 + 4n − 1 + 22n + 3

	1   4 * 8n + 6n* + 3   36
limn → ∞ (		) =
	1   8n * 64 + 4n* + 8 * 4n   4

lim_{n → ∞}

	1   3   3   8n( 4 + ( )n + )   36   4   8n
(		)
	1   1   1   8n(64 + ( 2 * + 8 * ( )n   2   4   2

=

	1   4 + * 0 + 0   36		1
limn → ∞ (		) =
	1   64 + * 0 + 8 * 0   64		16

dobrze? Mam odpowiedzi, ale nie mam do nic obliczen i nie wiem czy robie dobrze

Ajtek: Wygląda ok, ale niech ktoś mocny jeszcze zerknie.

Basia: dobrze; tylko ostatnia linijka już bez lim i kilka drobnych błędów rachunkowych (nie zmienią wyniku) ostatnia linijka:

	4+136*0+0		4		1
=		=		=
	64+0*14+8*0		64		16

bo linijka wyżej powinno być (¹₂)ⁿ*¹₄

Ajtek: Masz Basia rację przeoczyłem to. Dużo przypominania przede mną .

asdf: Racja, w zeszycie mam tak jak napisałas Basia Z tym usuwaniem lim_{n → ∞} popracuje. Fajnie, ze chociaz podstawy dzisiaj zalapelem Starczy i do jutra! Dziękuję i dobranoc

Ajtek: Spokojnej nocy bez granic. Tzn. granica będzie jedna, jak zadzwoni budzik .

Mila:

	1		1		1
Literówka : Powinno być: 8n(64+ (		)n*		+8*(		)n w mianowniku.
	2		4		2

W ostatniej linijce nie potrzeba "lim"

Ajtek: Bry wieczór Mila .

Mila: Chyba niebawem, dobranoc?

Ajtek: Powiem więcej, nawet na pewno za chwil kilkanaście pozycja horyzontalna. Obiecuję nie będę chrapał .