indukcja matematyczna Magda:

	n(n+1)
13 + 23+...+n3=(1 + 2 +....+n)2= (		)2
	2

jest ktos w stanie udowodnic krok po kroczku ta indukcje? z tym ze zeby z przodu znalazl sie ten znaczek ∑ a nad nim n a pod spodem jakies ,,i" .... bo jak patrzylam zadania z indukcji na stronie to sa z k, ktore sa proste, ale na ciwczeniach robilismy z tym znaczkiem, a z tym znaczkiem sie gubie

Basia: ten znaczek oznacza sumę masz pełne prawo napisać tak: ∑_i=1ⁿ i³ = 1³+2³+...+n³ i dalej dowodzić sobie bez "znaczka"

Magda: i nic sie nie stanie jak go nagle opuszcze, pomine

Mateusz: Najwyżej obetnie ci ręke

Magda: haha NO bardzo smieszne a ja tu naprawde mam dylemat

Basia: nic się nie stanie bo ten znak (czyli sigma) jest skróconym zapisem sumy ludzie są leniwi (i chwała im za to); nie chce im się pisać: 1+2+3+....+n więc piszą ∑_i=1ⁿ i bo to jest to samo

Mateusz: Ee tam żeby wszyscy mieli takie dylematy żeby np nie pisac 1+2+3+4+5+6 td moge to zapisac za pomocą sigmy: 6 ∑ i i=1

Magda: haha, moja pani profesor widocznie leniem nie jest bo w kazdej nowej linijce jest taki znak nie wiem, to pierwsze ciwczenia z nia byly, zapytam sie czy u nie przejdzie zadanie bez tej sigmy

Magda: no ja przepraszam bardzo po podstawowej matematyce jestem w liceum, w ogole nie wiem czemu poszlam na taki kierunek studiow jak matematyka... tu wszystko komplikuja bardziej

Magda: tzn na podstawowej matematyce bylam w liceum

Mateusz: Nic nie komplikują tylko masz teraz prawdziwą matematykę w liceum to miałaś tylko rachunki Teraz dowiesz sie np ze liczby rzeczywiste są urojone a liczby zespolone są proste

Magda: i kochalam te rachunki a raczej nadal kocham a teraz jak sie na to patrze mi sie juz powoli odechciewa. juz sie dowiedzialam ze rownosci tej ze samej rownosci sa rowne wiec nic mnie juz nie zdziwi albo na geometri profesor ostatnio mowil ze trojkat to prosta, a czworokat to w innej geometri trojkat

Mateusz: No to widzisz jakie cudeńka masz a to zadanie bez sigmy w takim razie nie przejdzie jak to są studia teraz bedziesz posługiwała sie troche innym językiem matematycznym niz miałas w liceum

asdf: Magda, nie przejmuj się Ogarniesz zaległości i będzie dobrze Ja po 2 godzinach matematyki, 2 godzinach fizyki mam do ogarniecia: wzory redukcyjne, wektory, granice ciagu/funkcji, pochodne Też jestem po podstawie z matematyki, ale na kierunku matematyki nie jestem

Basia: przejść przejdzie, ale język matematyki tak czy owak trzeba w końcu opanować w żadnej monografii matematycznej, ani nawet w żadnym skrypcie nikt nie napisze: 1²+2²+3²+....+n² zawsze to będzie zapis z ∑ na początku możesz to sobie "tłumaczyć", potem się po prostu przyzwyczaisz

Magda: ja juz granice, pochodne, umiem calki tylko te najlatwiejsze. Mateusz, a moglbys mi napisac krok po kroczku z ta sigma bardzo ladnie prosze ja sie szybko ucze, jak mam przed soba dobrze zrobione zadanie latwo wyciagam wnioski bo choc chodzilam na podstawowa matme, uczylam sie sama rozszerzenia i matura rozszerzona nawet ladnie mi poszla a uczylam sie tylko z tej stronki i rozwiazywalam zadania z Kiełbasy...

Mateusz: no wiec mamy ten przykład co podałem: 6 ∑ i i=1 mamy tu tzw wskażnik "i" ktory zmienia sie w odstępie co 1(zapisane na dole ) dla każdego kolejnego składnika sumy do wartosci zapisanej nad sigmą rozumiesz juz coś ?

Magda: z ta 6 owszem gdybym miala np 1 + 2 + 3 +.. + n to nad ta sigma pisze wtedy n wlasnie z tym i nie za bardzo, to zalezy od tego jak n tzn te liczby w ciagu wzrastaja?

Mateusz: W ramach ćwiczenia zapisz mi średnią arytmetyczną n liczb z wykorzystaniem sigmy

Magda: a czy ,,i " moze byc 0 ? bo w jednym zadaniu tak mam... tzn gdy przepisywalam z tablicy

Mateusz: tak piszesz wtedy n na dole piszesz jaki jest odstep między wyrazami np co drugi no to i=2 itp

Magda: nie potrafie....

Mateusz: tak np mamy ∞ ∑ (2i +1) = 1+3+5+7+9....∞ i=0 dla i=0 mamy (2*0+1)=3 itd

Mateusz: No jak to nie podpowiem

	a1+a2+...+an		1
Sa=		=		i tu wpisz odpowiednia sigme
	n		n

Magda: ok, to juz ta sigme rozumiem. to teraz wytlumacz mi jedno jeszcze : 1 + 2¹ +2ⁿ+...+ 2ⁿ−1=2ⁿ−1 robie sigme ∑n−1 na gorze a na dole ,,i−1 tak? a teraz czemu dalej za nia mam tzn ∑ 2ⁱ= 2ⁿ−1 nie wiem czy cos zrozumiales z tych moich zapiskow

Basia: 1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1 to masz udowodnić indukcyjnie inny zapis tego samego twierdzenia to ∑_i=0ⁿ⁻¹ 2ⁱ = 2ⁿ−1 tego co jest zaznaczone na czerwono nie wiesz masz to dopiero udowodnić

Magda: to ja juz tylko nie rozumiem kiedy te i jest 0 a kiedy 1

Mateusz: Podam ci jeszcze jeden przykład mamy sumę: 0+2+4+6+8+10+........... jak zauwazymy kolejne składniki różnią się o dwa od siebie i zmieniają sie w zakresie od 0 do +∞ i teraz jeszcze jedna rzecz zauwaz ze kolejne wyrazy sumy mozesz otrzymac tak: 0*2 + 1*2 + 2*2 +3*2.... teraz w kazdym składniku sumy masz stały czynnik 2 i wskażnik i zmienia nam się od 0 do ∞ co mozemy zapisac tak: ∞ ∑2i i=0

ania: Mateusz jak i =2 to nie krok jest co drugi a zaczynamy od cyfry dwa a krok dalej jest 1 9 ∑ i = 5+6+7+8+9 i=5

Mateusz: Fakt na początku napisałem co innego niz chciałem i drobny bład rachunkowy jeszcze potem sie wkradł

Magda: no to w koncu jak to jest? tak jak to ania napisala? Mateusz mogłbys mi napisac przyklady jakichs sum, a ja bym postarala znalezc sigme i bys mi sprawdzil

Magda: albo ktos inny by mi napisal jakas sume, a ja bym to sprobowala wziasc w sigme

Mateusz: No to juz 1) Zapisz średnia kwadratową n liczb z użyciem symbolu ∑ 2) zapisz a pomocą symblu ∑ taką sume: a₁+a₁q+a₁q²+......+a₁qⁿ⁻¹+.....= tu wpisz sumę z sigmą 3) Oblicz wartosc wyrażenia: 2

	i
∑
	i+3

i=−2

	1		1		1		1
4) zapisz za pomocą symbolu sigma sumę:		+		+		+		.........
	2		4		8		16

Jak dzisiaj zrobisz to jutro sprawdze ewentualnie dzisiaj ktos inny jak będzie chciał

Mateusz: Tak jest jak pisze ania ja sie pomyliłem w poscie z 20:06 z tym odstępem co innego miałęm na mysli a co innego napisałem

Mateusz: a jeszcze na dokładke ci takie dorzuce z czym miałem ostatnio mały problemik bo mi program tracił precyzje

74		74		74		74		74
	+		+		+......=		+		*
1000		1000000		1000000000		1000		1000

1		74		1
	+		*		+.....= tu wpisz odpowiednia sume za pomocą sigmy
1000		1000		10002

Magda: dopiero teraz zauwazylam wroce dzisiaj do domu to od razu sie za to wezme dziekuje