NIUTON UTO: Wykaż, że √10[(1+√10)¹⁰⁰−(1−√10)¹⁰⁰] ∊ C. A więc rozpisuję:

	100 k		100 0		100 1
S1 = (1+√10)100 = ∑		1n−k(√10)k =		1100(√10)0 +

	100 2		100 100
199(√10)1 +		198(√10)2 + ... +		10}(√10)100

	100 k		100 0		100 1
S2 = (1−√10)100 = ∑		1n−k(−√10)k =		1100(−√10)0 −

	100 2		100 100
199(√10)1 +		198(−√10)2 + ... +		10}(√10)100

Gdy odejmę S₁ od S₂ wyrazy z parzystymi k zaczną się skracać i dostaje:

	100 1		100 3
S1−S2=2(		199(√10)1 +		197(√10)3+ ... +

	100 99
		11(√10)99)

bez newtonow bo za dlugie jest S₁−S₂=2√10( parzyste potęgi √10) Zatem: √10(S₁−S₂)=20*( te calkowite liczby) Dobrze?

UTO: halo

Vax: Proponuję podejść do tego zadania w ten sposób. Zdefiniujmy ciąg: a_n = (1+√10)ⁿ − (1−√10)ⁿ , n ≥ 1. Widzimy, że a₁ = 2√10 , a₂ = 4√10 Zauważmy, że: 2a_n = ((1+√10) + (1−√10)) * ((1+√10)ⁿ − (1−√10)ⁿ) = (1+√10)ⁿ⁺¹ − (1+√10)(1−√10)(1−√10)ⁿ⁻¹ + (1−√10)(1+√10)(1+√10)ⁿ⁻¹ − (1−√10)ⁿ⁺¹ = ((1+√10)ⁿ⁺¹−(1−√10)ⁿ⁺¹)+9(1−√10)ⁿ⁻¹−9(1+√10)ⁿ⁻¹ = a_n+1−9a_n−1 ⇔ a_n+1 = 2a_n + 9a_n−1. Teraz pozostaje zauważyć, że jeżeli a_n oraz a_n−1 są postaci X * √10 dla pewnego całkowitego X, to a_n+1 = 2a_n + 9a_n−1 również jest postaci X * √10 dla pewnego całkowitego X, a stąd wszystkie wyrazy a_n są postaci X * √10, jest tak ponieważ dwa pierwsze wyrazy, a₁ oraz a₂ są postaci X * √10. To zaś oznacza, że wszystkie wyrazy ciągu: b_n = √10 * a_n , n ≥ 1 Są wartościami całkowitymi, stąd w szczególności b₁₀₀ jest całkowite, QED

UTO: O ciekawy sposob, myslalem ze tego typu zadania tylko z Newtonem robic. Dzieki wielkie!