wartość bezwzględna filip: wykaż, że prawdziwe są nierówności: a) ||x| − |y|| ≤ |x − y| b) |x − y − z| ≥ |x| − |y| − |z|

Godzio: a) | |x| − |y| | ≤ |x − y| Korzystając z faktu, że |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y mamy: − |x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y| Udowodnię najpierw pierwszą nierówność: − |x − y| ≤ |x| − |y| ⇔ |y| − |x − y| ≤ |x|, zauważmy, że: |y| − |x − y| = |y − x + x| − |x − y| ≤ |y − x| + |x| − |x − y| = |x| (skorzystałem z nierówności trójkąta Teraz drugą: |x| − |y| ≤ |x − y| tym razem, |x| = |x − y + y|, podobnie jak wyżej, korzystamy z nierówności trójkąta: |x| − |y| ≤ |x − y| + |y| − |y| = |x − y| Co kończy dowód

Godzio: |x − y − z| ≥ |x| − |y| − |z| P = |x − y − z + y + z| − |y| − |z| ≤ |x − y − z| + |y| + |z| − |y| − |z| = |x − y − z| Tu również skorzystałem z nierówności trójkąta

filip: a skąd otrzymałeś to: |y| − |x − y| = |y − x + x| − |x − y| bo nie widzę tego zbytnio

Godzio: |y| = |y − x + x| − dopisałem sobie x i go odjąłem, żeby wyrównać

filip: ok dziękuję bardzo; został mi tylko jeszcze jeden przykład, którego nie rozumiem do końca, jakbyś mógł pomóc byłbym wdzięczny. [polecenie jak wyżej] c) |x₁ + x₂ + ... + x_n| ≤ |x₁| + |x₂| + ... + |x_n|

Godzio: Również trzeba skorzystać z nierówności trójkąta, tylko dla większej ilości elementów |x + y| ≤ |x| + |y| |x₁ + (x₂ + ... + x_n) | ≤ |x₁| + |x₂ + ... + x_n| ≤ |x₁| + |x₂| + |x₃ + ... + x_n| ≤ ≤ ... ≤ |x₁| + |x₂| + ... + |x_n|