Zadania z działań na wektorach :) Sławek: Witam! Mógłby mi ktos moze podac jakies fajne przykłady z działań na wektorach ? Chodzi mi o dzialania algebraiczne a nie graficzne i z wykorzystaniem wersorów. Bo bym sobie przećwiczył Pozdrawiam!

Trivial: Dane są: a = (1,2,3) b = (2,3,4) c = (−1, 0, −3) 1. Pokaż, że wektory te nie są wpółliniowe. 2. Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a,b. 3. Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c.

Sławek: a*b = (1*2) + (2*3) + (3*4) = 2 + 6 + 12 = 20 a*b ≠ 0 , więc wektory nie są współliniowe. Czy to tak się robi?

Trivial: nie. 1. a*b = 0 ⇔ a ⊥ b, a wektory prostopadłe na pewno nie są współliniowe (oczywiste jest, że nie leża na tej samej prostej). 2. W ogóle nie uwzględniłeś wektora c.

Sławek: a*c = (1*(−1)) + (2*0) + (2*(−3)) = −1 + 0 −6 = −7 a*c ≠ 0 wiec wektory nie są współliniowe

Sławek: kurde to co mi sie ubzdurało? ze a * b = 0 jesli sa rownolegle?

Sławek: a pokazalbys mi jak sie to robi? bo ja sie ucze i cos kiepsko mi wychodzi

Trivial: Możesz albo policzyć iloczyn wektorowy każdego wektora z każdym (axb, bxc, axc) i sprawdzić czy każdy z nich jest niezerowy (pracochłonne) albo policzyć wyznacznik utworzony z tych wektorów. |1 2 3| |2 3 4| |−1 0 −3| i sprawdzić czy jest niezerowy. Ewentualnie możesz z definicji udowodnić, że nie istnieją takie stałe d₁, d₂, d₃, że d₁a + d₂b + d₃c = 0

Krzysiek: zależy o jakie działanie masz na myśli pisząc; " * " jeżeli o mnożenie wektorowe: a x b =0 to z tego wynika, że są równoległe jeżeli mnożenie skalarne: a◯b =0 ⇒a⊥b akurat do tych zadań musisz znać oba te działania

Sławek: czyli jak iloczyn wektorowy = 0 to sa wspoliniowe? bo tam na gorze napisales, ze sa prostopadle. to jakie wkoncu?

Trivial: iloczyn skalarny → prostopadłe iloczyn wektorowy → równoległe.

Sławek: aha, czyli jezeli w skalarnym wyjdzie 0 to sa prostopadle a jezeli w wektorowym wyjdzie 0 to sa rownolegle tak?

Trivial: Tak.

Sławek: jasne Czyli tu trzeba liczyc z wektorowego. Jako, ze nie nie mialem wyznacznikow z 3 wersami ( mialem z trzema ale w pierwszym wersie byly wersory i,j,k i to wówczas umialem a tu z 3 polaczeniami to nie umiem ) to policze metoda bardziej pracochlonna

Sławek: no i jak robie axb to mi wychodzi 0 , wiec cos chyba robie zle. a robie to tak: | i j k | |1 2 3 | |2 3 4 | = (−i + 2j − k ) a to = 0

Trivial: Jakie zero? Przecież wyszedł Ci wektor niezerowy − mianowicie (−1, 2, −1).

Sławek: ahaaa, no tak. czyli jakby mi wyszlo (0,0,0) to bylby rownolegly , tak jest?

Trivial: tak.

Sławek: rozumiem! super, dziekuje. Próbuje dalej

Sławek: b x c = (−9,2,3 ) ≠ 0 a x c = (−6,0,2 ) ≠ 0 Dobrze to wyliczyłem?

Trivial: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2C2%2C3%29x%282%2C3%2C4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2C3%2C4%29x%28-1%2C0%2C-3%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2C2%2C3%29x%28-1%2C0%2C-3%29 Sprawdź sam.

Sławek: wygląda na to, ze tak. fajna stronka a jakbym chcial odrazu tym wyznacznikiem 3 wersowym to zrobic? Jest to zbyt trudne na wytlumaczenie dzis ?

Trivial: Robisz analogicznie do iloczynu wektorowego, czyli: |a b c| |d e f | |g h i | =

	e f h i		d f g i		d e g h
a*|		| − b*|		| + c*|		|

Sławek: ahaaa spróbuję wówczas

Sławek: Wyszło mi (−9 , 4 , 9 ) czy dobrze?

Trivial: Niedobrze, bo to nie wektor tylko liczba. Trzeba zsumować jak normalne liczby: −9+4+9 = 4.

Trivial: No to teraz zadanie 2 i 3 powinno być zrobione migiem (tak naprawdę prawie wszystko już policzone)

Sławek: ok, tylko chwile bo sie pogubilem. to co przed chwila policzylem tym wyznacznikiem to przeciez nie byl skalarny, tylko wektorowy. a liczba wychodzi tylko przy skalarnym przeciez, czyz nie?

Trivial: Jeżeli w wyznaczniku masz same liczby, to wynikiem będzie liczba. Jeżeli zapakujesz do pierwszego wiersza wersory jednostkowe i,j,k to otrzymasz wektor. To tylko taki wygodny zapis, dzięki czemu możemy policzyć iloczyn wektorowy przy pomocy wyznacznika.

Sławek: kumam, wszystko kumam co mi tlumaczysz co mnie bardzo cieszy i za co bardzo Ci dziekuje. Dziwi mnie to, ze tego nie mialem w liceum i musze takie podstawy teraz na studiach sobie wpajać. a to narazie pierwszy temat z fizyki ( bo dzialania na wektorach mam na fizyce ). Niewiem czy dam dalej rade jak co chwile bede dowiadywal sie o czyms co powinienem miec w liceum a czego nie mialem...

Trivial: To niech Cię nie dziwi, bo w programie liceum tego po prostu nie ma. Wektory w fizyce używane są cały czas, więc wypada je znać − ja też miałem rozpoczęcie zajęć od wektorów, iloczynów wektorowych, skalarnych i innych takich... A na następnych zajęciach − kolos! Nie zaliczony, bo troszkę się spóźniłem na zajęcia...

Sławek: ehh. czyli miedzy liceum a studiami powinienem sobie jeszcze zrobic coś ekstra uzupelniajacego, wychodzi na to Czyli podsumowując to co dzis sie nauczylismy. Mamy iloczyn skalarny i wektorowy. Jezeli w iloczynie skalarnym a ◯ b = 0 to wektory te są wzejemnie prostopadłe a jezeli w iloczynie wektorowym (który liczymy z wyznacznika ) a x b = 0 to wektory te są równoległe. Iloczyny wektorowe mozemy liczyc z wykorzystaniem wersorów jednostkowych np. ijk. i wtedy wynik wychodzi dla przykładu (−5i + 3j + 2k) co daje nam wektor o współrzędnych ( −5,3,2 ) Można tez takze je liczyc liczbowo, bez wykorzystania wersorów. Wówczas wyjdzie nam liczba. Dla przykładu, wyjdzie (−9 + 4 + 9 ) Dobrze zrozumialem dzisiejsza lekcje?

Sławek: hmm?

Trivial: Tak.

Sławek: A jutro bedziemy myslec nad reszta. Chyba, ze chcesz mi po krótce wyjasnic jak sie bawi z tym równoległobokiem. A jesli nie, no to dobranoc i dziekuje, dziekuje, dziekuje

Trivial: Zadanie 2 i 3 opierają się na własnościach wektorowych. 2) wynik = |axb| = |(−1, 2, −1)| = ... 3) wynik = |(axb)oc| = |{ten sam wyznacznik, który był policzony}| = |4| = 4. Można te własności łatwo wyprowadzić i na pewno jeszcze o nich usłyszysz.

Sławek: czyli w 2) musze policzyc dlugosc axb , tak?

Trivial: tak.

Sławek: i to na tyle? To w takim razie z jakiego teoretycznie wzoru na pole równoległoboku bedziemy korzystac? A moze przed spaniem chcialoby Ci sie mi te konkretne własności wektorowe wypisac?

Trivial: Wypisałem. Te zadanka nie były wcale trudne.

Sławek: Bo ja to bym zrobił tak. Wyliczył długość |axb| oraz długość |a| i długość |b| .. Z tego policzyłbym kąt sin<(a,b) i wtedy skorzystał ze wzoru P = absinα

Trivial: Tak właśnie trzeba zrobić. Trochę trudniej wyprowadzić wzór do 3. ale to już może jutro, bo idę spać.

Sławek: ja tez juz lecę . Jutro jak bedze mial chwile i zobacze, ze jestes to odswieze post i wylicze przykład nr. 2. a potem jak bedziesz mial chec mi pomoc to powalczymy z przykladem nr. 3 Dobranoc i jeszcze raz dzieki

Trivial: Dobranoc.

Trivial: Widzę, że już trochę spałem na koniec. Chodziło mi o to, że długość iloczynu wektorowego to: |axb| = |a|*|b|*sin(α), gdzie α − kąt między wektorami a,b. Ale można iloczyn wektorowy policzyć wyznacznikiem i z tego co wyjdzie wyliczyć długość → masz gotowe rozwiązanie.

Sławek: Odświeżając wczorajszą lekcję, kieruję post do Trivala A więc tak. |a| = √14 |b| = √29 |axb| = √6

	|axb|
sin∠(a,b) =
	|a|x|b|

	√6
sin∠(a,b) =
	√14*√29

	√6
sin∠(a,b) =
	√406

	√2436
sin∠(a,b) =		≈ 0,121
	406

P = a*b*sin∠(a,b) = √6*√29*0,121 ≈ 1,6j² Czy dobrze?

Sławek: Hmm?

Sławek: trivial jestes moze?

Sławek: a moze ktos inny to ogarnia i chcialby to sprawdzic?

Krzysiek: P=|axb| =√6

	|axb|
sin∡(a,b) =
	|a||b|

Trivial: Nie dobrze. Poprawna odpowiedź to P = √6. Zastanów się po co w ogóle liczyłeś tego sinusa, |a|, |b|, bo ja nie wiem.

Sławek:

	|axb|
aha no faktycznie, bo wtedy by było |a|*|b| *		a wtedy to nam sie skróci i
	|a|*|b|

zostanie samo |axb|... Ale teoretycznie tamto tez mi powinno wyjsc

Sławek: teoretycznie zrobilem to samo tylko na około..

Sławek: a wynik inny, dlaczego?

Trivial: Źle podstawione |a|

Sławek: ale w ktorym miejscu zle podstawione?

Trivial: na końcu.

Sławek: Super. A jak zrobic pkt. 3? Jakis pomysł masz?

michał: na jakich studiach jesteś Sławek jeśli mogę spytać?

Trivial: Sławek, korzystając z rysunku: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Parallelepiped_volume.svg&page=1 możesz łatwo wyprowadzić co trzeba. h = |a|cosα P = |bxc| V = Ph = |bxc|*|a|cosα = |(bxc)oa|

Trivial: Aha − wykorzystałem to, iloczyn wektorowy bxc daje wektor prostopadły do podstawy, dzięki czemu α to kąt między wektorem bxc oraz a

Sławek: dopiero zaczynam studia Jeszcze matmy nie mialem nawet

Sławek: tyle, ze trivial popatrz. Jak policze bxc to wyjda mi wspolrzedne. a jak te wspolrzedne pomnoze skalarne z a to otrzymam liczbe. a jak z niej wyciagnac dlugosc?

Trivial: kreski tym razem oznaczają wartość bezwzględną.

Trivial: Tak naprawdę to dla uproszczenia możesz traktować liczbę jako wektor jednowymiarowy. Np. liczbę 8 możemy potraktować jako wektor (8). Jego długość to √8² = |8| = 8. Prosta sprawa.

Sławek: rozumiem juz teraz wszystko Dziekuje

Sławek: rozumiem juz teraz wszystko Dziekuje