funkcje tryg powojnego kata wyprowadzanie Rafał: Witam, mam za zadanie wyprowadzić funkcje tryg. podwójnego kąta mianowicie: a) sin2α b)cos2α c)tg2α d)ctg2α następnie a)sin3α b)cos4α czy mógłby mi ktoś powiedzieć jak nalezy to wyprowadzic?

Eta: sin(x+y)= sinx*cosy+cosx*siny to: sin2α= sin(α+α)= .........

Rafał: no to będzie sinα * cosα + cosα * sinα i co dalej ?

Aga1.: sinacosa+sinacosa=2sinacosa.

Eta: + = 2* ......= 2sinα*cosα

Eta: I Aga popsuła zabawki

Rafał: Eta genius No tak prostę dziękuje bardzo jak będę miał dalej problem z resztą to się odezwę

Aga1.: Przeepraszam, Eta

rolnik :): czyli 2sinαcosα z resztą to samo tylko poszukaj w tablicach wzorów na cos(α+β) na tg i ctg chyba też są a przy sin3α rozpisujesz to na sin(2α+α) i robisz to samo

Rafał: ktoś mi zdradzi wzory na tg i ctg

Rafał: a dobra już nie trzeba xD grrrrrrrrrrr

Aga1.:

	sin2α
tg2α=		=
	cos2α

Rafał: czy mógłby mi ktoś jeszcze wytłumaczyć a)sin3α b)cos4α

Eta: sin3α= sin(2α+α)=............... cos4α=cos(2α+2α) =...........

Rafał: Eta i co dalej czyli będzie: sin3α= sin(2α+α)= 2 sinα cosα + sinα cosα ?

rolnik :): sin3α=sin(2α+α)=sin2α*cosα+cos2α*sinα=2sinα*cosα*cosα + (cos²α−sin²α)*sinα= 2sinαcos²α+sinαcos²α−sin³α=3sinαcos²α−sin³α

Eta: @rolnika Można jeszcze zapisać tak : sin3α= sinα(3−4sin²α)

Rafał: nie rozumiem

Eta: Tak jak napisał Ci mało−rolnik sin3α= ......... od rolnika = 3sinα*cos²α−sin³α 3sinα(1−sin²α)−sin³α= 3sinα−3sin³α−sin³α= = 3sinα−4sin³α= sinα(3−4sin²α) i mamy elegancki wzór: sin3α= sinα(3−4sin²α)

Eta: Podobnie wyprowadź cos3α= cos(2α+α)=......... podobnie jak podał rolnik otrzymasz: cos3α= cosα( 4cos²α−3)

Rafał: To może to rozłóżmy Mamy tak: sin3α= sin(2α+α) czyli sin 2α =2 sinα cosα u rolnika sin α = cos2α*sinα skąd się wzięła ta 2

rolnik :): no ze wzoru sin(α+β)

rolnik :): za α podstawiłem 2α za β − α i przepisałem ze wzoru

Rafał: no ale chyba sinα to nie to samo co sin α+α nie wiem kurde no

Rafał: czekaj przeanalizuje jeszcze dwa razy

rolnik :): @ Rafał −nie rozumiem

Rafał: sin2α=sin(α+α)=sinα*cosα+sinα*cosα=2sinαcosα czyli z tego wynika, że sinα= sinα*cosα ?

ICSP: mylicie kąty

rolnik :): tak Rafał nie można

Rafał: nie ogarniam tego xd

rolnik :): po prostu 2sinα to nie to samo co sin2α

ICSP: sin2α = 2sinαcosα te dwójki nie mają nic ze sobą wspólnego. Nie możesz tak skrócić

Rafał: to skąd wiemy ile wynosi sinα? bo sin2α obliczyłem ze wzoru sin(α+β)

ICSP: sinα to sinα

Rafał: to co sin(2α+α)=2sinαcosα + sinα ? Xd

ICSP: za mało . Mylisz ciągle wzory sin(x + y) ≠ sinx + siny sin(x+y) = sinxcosy + sinycosx

Eta: sin(2α+sinα)= sin2α*cosα+ cos2α*sinα= 2sinα*cosα *cosα+ (cos²α−sin²α)*sinα= =........ dokończ Już jasne?

Rafał: ahaa XD dziękuje bardzo póki co zrozumiałem o co chodzi z tymi dwójkami dziękuje teraz przeanalizuje sobie resztę

Rafał: już wiem potem podstawiamy za sin2α =2sinα*cosα *cosα robię postępy dziękuje

asdf: sin(2x + sinx) = sin2xcosx + cos2xsinx = 2sinxcos²x + cos²xsinx − sin³x = 3sinxcos²x − sin³x = sinx(3cos²x − sin²x) takie coś?

Eta: Tak trzymaj

Eta: Zobacz wpis 19 : 22

Rafał: Ok, wyszło mi tak jak rolnikowi ...= 3sinαcos2α−sin3α teraz biorę się za cos4α

ICSP: xD (cosx + isinx)³ = (cos3x + isin3x) ale przecież z dwumianu Newtona mamy że : (cosx + isinx)³ = cos³x + 3isinxcos²x −3cosxsin²x − isin³x zatem porównując części rzeczywiste i urojone mam : cos3x = cos³x − 3cosxsin²x sin3x = −sin³x + 3sincos²x Oto przykład użycia liczb zespolonych w celu prostego wyprowadzenia wzoru na sin(nx) , n ∊ N

Rafał: teraz nie wiem czy dobrze robie cos4α=cos(2α+2α)=2cos² α − 2sin² α? xD wystarczyło podstawić?

Eta: cos4α= cos2*2α= cos²(2α)−sin²(2α)

rolnik :): źle cos4α=cos(2α+2α)=cos²2α−sin²2α

rolnik :): no i można zrobić tak (cos2α)²=... i dalej chyba wiesz

rolnik :): cos²2α=(cos2α)²

Rafał: mam mętlik w głowie xD

Rafał: czy mogli byście mi to rozpisać tak jak poprzednio? cos(2α+2α)=......................................

Rafał: czy to będzie tak jak poprzednio, że cos(2x+2y)=sin2xcos2y + sin2ycos2x?

Rafał: wróć cos(2x+2y)=sin2xcos2y − sin2ycos2x?

Rafał: chyba wzory mi się rąbią ;xxx

rolnik :): popatrz na wpis o 20:06

Rafał: cos4α=cos(2α+2α)=cos² 2α−sin² 2α na tym skończyłem okazało się, że wzory pomyliłem xDDDD czas do spania chyba da się coś dalej z tym zrobić?

rolnik :): da się

Rafał: ok mówiłeś chyba, że się da wcześniej więc tak: (cos2α)² − (sin2α)² = ......... tak? biorę się pod podstawianie

Eta: dalej: cos4α= 8cos⁴α−8cos²α+1

Rafał: czyli końcowy wynik to: cos⁴ α+sin⁴ α − 4sin² αcos² α

Rafał: Eta łał skąd wziełaś te 8 o jeeeeeeeesu czyli mam źle

rolnik :): mi wyszło cos⁴α−6sin²αcos²α+sin⁴α Eta po prostu sinus zamieniła na cosinus z jedynki trygonometrycznej ( przynajmniej tak mi się wydaje)

Eta: Są trzy postacie : cos2α= cos²α− sin²α = 1− 2sin²α = 2cos²α−1 skorzystaj z tej trzeciej (2cos²α−1)²− (2sinαcosα)² =........ i za sin²α = 1−cos²α otrzymasz taki wynik jaki podałam! Do dzieła.......... Rafał

Rafał: no to czekamy aż Eta się wypowie, chociaż ty też masz 6 tam gdzie ja mam 4

rolnik :): @ Rafał ale zamień sin na cos i powinno wyjść to samo co Ecie

Rafał: ale jak mam zamienic sinus na cosinus?

Rafał: Mogli byście mi to opisać po kolei jak to zrobiłeś rolnik w poprzednim? bardzo proszę

Rafał: ok eta mi podała w sumie : (2cos2α−1)2− (2sinαcosα)2 =........ i za sin2α = 1−cos2α jestem już chyba zmęczony ;x dobra jest poradze sobie idzie spac dziekuje bardzo

Rafał: cos4α= 8cos⁴ α−4cos² α+1 tak mi wyszło okej thx a lot guys