Podzielność przez 6 gość: n jest liczba naturalna uzasadnij : 3n² + 3n jest podzielna przez 6

krystek: 3n(n+1) jest podzielne przez 2 i 3 stąd podzielny przez 6

gość: No do tego też doszedłem tylko nie ogarniam jak to ładnie matematycznie zapisać.

Saizou : Liczba w postaci 3n(n+1) jest iloczynem dwóch liczb, z których jedna jest podzielna przez 2 i jedna przez 3 zatem ich iloczyn musi dzielić się przez 3*2=6

Basia: jeżeli chcesz mieć zapis formalny to: 1. n jest parzysta ⇒ n=2k gdzie k∊C i mamy 3n²+3n = 3n(n+1) = 3*2k*(2k+1) = 6k(2k+1) co jest podzielne przez 6 bo k(2k+1)∊C 2. n jest nieparzysta ⇒ n=2k+1 gdzie k∊C i mamy 3n²+3n = 3n(n+1) = 3(2k+1)(2k+1+1) = 3(2k+1)(2k+2) = 3(2k+1)*2(k+1) = 6(k+1)(2k+1) co jest podzielne przez 6 bo (k+1)(2k+1)∊C innych możliwości nie ma

Trivial: Basiu, skoro już ma być formalnie, to chyba krócej będzie indukcją. Dla n=1 mamy 3 + 3 = 6 − podzielne przez 6 Dla n≥1 mamy 3(n+1)² + 3(n+1) = 3n²+6n+3 + 3n+3 = 3n²+3n + 6(n+1) − korzystając z założenia indukcyjnego też jest podzielne przez 6.

Basia: oczywiście, ale gość zapewne jej nie zna a w ogóle zapis formalny w tym zadaniu to klasyczny przerost formy nad treścią, ale skoro tak bardzo chciał......................

Mila: Witaj, Basia, Trivial Mam pytanie do Triviala: Jakie dać polecenie Wolframowi, aby mi narysował kardioidę podaną tak: r=a(1+cosθ), gdzie a>0 i 0≤θ≤2π. Za możemy przyjąć np.a=2

Piotr: chodzi o cos takiego ? http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%3D+2+%2B+2cos+%28theta%29%29%2C+0%3C%3Dtheta%3C%3D2pi

Mila: Do Piotra, bardzo dziękuję. Śliczna kardioida.

Piotr: proszę uprzejmie