nierownosci kwadratowe dorka:

	x3 − x2 + 9x −6
a).		< −1
	x2 − 5x + 6

	1−√1−9x2
b).		< 1
	x

c). 4x−2 <(1−x) √4+x

	1
d). √3−x −		> √x+1
	2

Z GORY DZIEKI ZA POMOC

ICSP: no i czym masz tutaj problem ?

dorka: no nie wiem o co chodzi z przypadkami i nie wiem jak zaczac to liczyc , moglbys mi pomoc?

ICSP: a dziedzinę umiesz ustalić ?

dorka: no tez nie umiem

ICSP: robisz zadania z rozszerzenia a podstaw podstawy nie znasz ? a) D : mianownik ≠ 0 Najpierw wyznacz dziedzinę. Później powiedz mi czy już miałęś/aś wielomiany/nierówności wielomianowe ?

j: Nie może być zera w mianowniku, liczby ujemnej pod pierwiastkiem, liczby ujemnej będącej wartością bezwzględną (no, tu nie ma), a wynik dzielenia wynosi zero tylko wtedy, gdy zerem jest cały licznik. Również nie może być ilorazu niedodatniej przez dodatnią ani dodatniej przez niedodatnią, gdy wynik ma być dodatni etc.

dorka: a). D : R \ {2,3} , dobrze? − mialam wielomiany

j: ani dodatniej przez ujemną* "niedodatnią" nie jest błędem, ale wykluczenie nastąpiło już wcześniej.

ICSP: no to teraz wszystko na jedną stronę i sprowadzasz do wspólnego mianownika

dorka: no i co potem? mnoze obie storny przez mianownik?

ICSP: najpierw napisz co Ci wyszło po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

dorka:

x3 − 2x2 + 14x − 12
	< 0
x2 − 5x + 6

ICSP: zmieniłaś znak przy −1 podczas przenoszenia na drugą stronę ?

dorka: tak

dorka: a jednak nie

ICSP:

x3 − x2 + 9x − 6
	+ 1 < 0
x2 − 5x + 6

x3 − x2 + 9x − 6 + x2 − 5x + 6
	< 0
x2 − 5x + 6

x3 + 4x
	< 0
x2 − 5x + 6

szukaj u siebie błędu. Teraz przemnażasz tą nierówność przez kwadrat mianownika.

dorka:

	x3 + 4x
juz zmienilam i wyszlo mi		<0
	x2 − 5x + 6

ICSP: teraz przemnażaj przez kwadrat mianownika

dorka: jak juz pomnozylam przez ten kwadrat mianownika to wyszlo mi x⁵ − 5x⁴ + 10x³ − 4x < 0

ICSP: nie mówiłem nic o wymnażaniu Jaka masz postać bez wymnażania ?

dorka:

	x3 + 4x
(x2−5x+6)2		< 0
	x2 −5x +6

ICSP: jedno się skraca i zostaje: (x² − 5x + 6)(x³ + 4x) < 0 x(x−3)(x−2)(x² + 4) < 0 ale przecież nie ważne co wstawię za x wartość wyrażenia x² + 4 będzie dodatnia. Będzie pewną liczbą dodatnia. Jeżeli dzielę nierówność przez liczbę dodatnia to nie muszę zmieniać znaku tej nierówności zatem x(x−3)(x−2)(x² + 4) < 0 ⇒ x(x−2)(x−3) < 0 ⇒ x ∊ (−∞;0) suma (2;3) koniec pierwszego przykładu

dorka: a jak to drugie zrobic?

ICSP: Najpierw dziedzina

dorka:

	1
D : x ≠ 0 , x ≠
	3

ICSP:

1 − √1 − 9x2
	< 1
x

Założenia do dziedzina : 1^o Nie dzielimy przez 0 : x ≠ 0 2^o Wartość pod pierwiastkiem musi być > 0 ⇒ 1 − 9x² > 0 ⇒ dokończ. Cześć wspólna tych rozwiązań będzie naszą dziedziną.

dorka: x ∊ (−∞ , 0) u (0,1/3)

ICSP: za mało.

dorka: jak za malo? nie umiem, blagam zrob to

dorka:

gość: Wartość pod pierwiastkiem może być też równa 0.

dorka: no to ten ostatni nawias bedzie taki > , i co teraz?

ICSP:

	1		1
D : x ≠ 0 ∧ 1 − 9x2 ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 ∧ (1−3x)(1+3x) ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 ∧ x ∊ <−		;		> ⇒ x ∊
	3		3

	1		1
<−		;		>\{0}
	3		3

wtedy nasza nierówność przybiera następującą postać : x(1 − √1 − 9x² −x) < 0 policzmy teraz miejsce zerowe wyrażenia w nawiasie : 1 − √1 − 9x² − x = 0 √1 − 9x² = −x + 1 , ma to sens wtedy gdy −x+1 ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 podnosimy obustronnie do kwadratu 1 − 9x² = 1 − 2x + x² 10x² − 2x = 0 2x(5x−1) = 0

	1
x = 0 v x =
	5

więc : x(1 − √1 − 9x² −x) < 0 ⇒ przy uwzględnieniu wszystkich założeń oraz dziedziny : x ∊

	1		1
<−		;		)\{0}
	3		5

Jedyną trudną rzeczą w tym przykładzie to jest niepogubienie się w założeniach oraz uwzględnienie ich wszystkich.

dorka: a w tym kolejnym dziedzina to x ≥ −4 , i co potem mam zrobic?

dorka:

ICSP: genialny przykład Zaraz postaram się go zapisać

dorka:

dorka: udalo ci sie?

ICSP: no wiec mamy że: 4x − 2 < (1−x)√x+4 sprawdzam czy zachodzi dla x = 1 2 < 0 − sprzeczność. Teraz muszę to rozbić na przypadki : 1^o 1−x > 0 ⇒ x < 1 wtedy :

4x − 2
	< √x+4
1−x

będzie to zawsze spełnione gdy

4x−2		1
	< 0 ⇒ (4x−2)(1−x) < 0 ⇒ (2x−1)(x−1) > 0 ⇒ x ∊ (−∞ ;		) suma (1 ; +∞).
1−x		2

	1
Uwzględniając warunek mam że dla x ∊ (−∞ ;		) nierówność jest prawdziwa. Teraz podnoszę
	2

	1
tą nierówność do kwadratu. Rozwiązuje ją już w przedziale x ∊ <		; 1)
	2

16x² − 16x + 4 < (x+4)(1−x)² 16x² − 16x + 4 < (x+4)(1 − 2x + x²) 16x² − 16x + 4 < x³ − 2x² + x + 4 − 8x + 4x² x³ − 14x² + 9x > 0 x(x² − 14x + 9) > 0 Δ = 196 − 36 = 160 = 16*10 √Δ = 4√10 x = 7 ± 2√10 tak więc : x(x² − 14x + 9) > 0 ⇒ x ∊ (0 ; 7 − 2√10 ) suma (7 + 2√10 ; + ∞) ale przecież rozwiązujemy

	1		1
w przedziale x ∊ <−		; 1) tak wiec x ∊ <−		; 7 − 2√10 )
	2		2

Rozwiązanie z warunku pierwszego to : 1^o x ∊ <−4 ; 7 − 2√10 ) warunek 2^o : 1−x < 0 ⇒ x > 1

4x−2
	> √x+4
1−x

4x−2		1
	< 0 ⇒ x ∊ (−∞ ;		) suma (1 ; +∞). − sprzeczność.
1−x		2

Warunek drugi nie posiada rozwiązań. Ostateczna odpowiedź to suma rozwiązań z obydwu warunków czyli : 1^o x ∊ <−4 ; 7 − 2√10 ) Daje głowę że da się to zrobić prościej

ICSP: d)Ponieważ nie mam czasu to zrobię na szybko i d

	1
√3−x −		> √x+1
	2

D : 3−x ≥ 0 ∧ x+1 ≥ 0 ⇒ x ∊ <−1;3>

	1
√3−x > √x+1 +
	2

	1
3−x > x+1 + √x+1 +
	4

	1
2 − 2x > √x+1 +
	4

8 − 8x > 4√x+1 + 1 7 − 8x > 4√x+1 założenie które dochodzi to :

	7
7 − 8x ≥ 0 ⇒ x ≤
	8

podnoszę obustronnie do kwadratu. 49 − 112x + 64x² > 16x + 16 64x² − 128x + 33 > 0 Δ = 16384 − 8448 = 7936 = 256*31 √Δ = 16√31

	128 + 16√31
x1 =		− sprzeczne
	128

	128 −16√31		8 − √31		1
x2 =		=		=		(8 − √31)
	128		8		8

	1
Odp x ∊ <−1 ;		(8 − √31) )
	8

Adas:

x3−3x2−4x
	>0, byłbym bardzo wdzięczny
(x−5)2

bezendu: D=R\{5} (x³−3x²−4x)(x−5)²>0 x(x²−3x−4)(x−5)²>0 Dalej już dasz radę !

Adas: Wielkie dzięki.