h mrrr: Trudne zadanie, nie wiem jak jest zrobić. Niech n ≥ ∊ Z oraz a₁, a₂, ..., a_n ∊ R₊ dla których a₂a₃...a_n = 1. Udowodnij, że: (1+a₂)²(1+a₃)³...(1+a_n)ⁿ > nⁿ Nie mam pomysłu jak to ugryźć. Za każdym razem ma inne wyniki. Ktoś może to wykazać? Będę wdzięczny.

Basia: a dlaczego to wszystko zaczyna się od a₂ ? po co tam w ogóle w takim razie na początku mowa o a₁ ? zastanowiło mnie to trochę, bo dziwne; na pewno dobrze przepisałeś ?

Vax: Tak, informacja o a₁ zbędna. Zadanie z tegorocznej międzynarodowej olimpiady matematycznej Zapisujesz sobie:

	1		1		1
ak+1 = ak+		+		+...+
	k−1		k−1		k−1

Dla k=2,3,...,n, stosujesz tutaj am−gm a potem wszystko wymnażasz.

mrrr: Ok. Już rozumiem. Olimpiad matematycznych? To ja mam dziwnego nauczyciela, że na matmie rozszerzonej nas olimpiadami katuje.

Vax: Okej

Basia: @Vax albo coś tu jest niedopisane, albo nie łapię co oznacza k ? i jak to się będzie miało np. do ciągu a_2k = √2

	1
a2k+1 =
	√2

dla n nieparzystego albo a₂=1 a_2k+1 = √3

	1
a2k+2 =
	√3

dla n parzystego

Vax:

	1		1		1		ak
(ak+1)k = (ak+		+		+...+		)k ≥ (k*pk{		})k =
	k−1		k−1		k−1		(k−1)k−1

	kk*ak
	(k−1)k−1

Zapisujemy dane nierówności dla k=2 , k=3 , ... , k=n i wymnażając dostajemy tezę. Równość

	1
zachodzi dla ak =		, jednak to by znaczyło (z założenia, że a2a3...an = 1), że
	k−1

	1
		= 1, sprzeczność, bo n ≥ 3.
	(n−1)!

Basia: o panie święty a ja sobie przeczytałam tak:

	1		1
ak+1 = ak +		+....+
	k−1		k−1

i za nic nie mogłam pojąć skąd się to wzięło teraz już oczywiście widzę o co Ci chodziło