Wykaż, że naturalna Andrzej: Wykaż, że naturalna: ³√9+4√5+³√9−4√5 jedyne co zauważyłem to wzory skróconego mnożenia pod pierwiastkiem, jak się za to zabrać?

Godzio:

	1 + √5
Chodzi Ci o inne rozwiązanie niż zobaczenie, że 9 + 4√5 = (√5 + 2)2 = (		)6 ?
	2

ICSP:

	3 ± √5
9 ± 4√5 = (		)3
	2

ICSP: Witaj Godziu

Andrzej: skąd się wziął ten pierwiastek do ⁶ ? i do czego to ma służyć?

Godzio: Do spierwiastkowania, tak mi jakoś wpadło Ale lepiej tak jak ICSP sprowadził

Godzio: Pokażę nieco inny sposób, bez myślenia

Godzio: Oznaczmy: a = 9 + 4√5, b = 9 − 4√5, zauważmy, że a * b = 81 − 80 = 1 a + b = 18 ³√a + ³√b = x /³ a + 3³√a²b + 3³√ab² + b = x³ a + b + 3³√ab(³√a + ³√b) = x³ 18 + 3³√1 * x = x³ x³ − 3x − 18 = 0 Pozostaje nam takie równanie do rozwiązania, oczywiście x ≥ 0, więc ujemne rozwiązanie (o ile takie będzie) odrzucamy

Andrzej: to co napisał ICPS −−> nie wiem co dalej z tym robić odnośnie wersji bez myślenia −−>dzięki

Andrzej: *ICSP

PW: Podam ładny sposób sprawdzający się w tego typu zadaniach. Łatwo zauważyć, że jeden z dodawanych pierwiastków jest odwrotnościami drugiego, np.

	1
3√9−4√5 =		,
	3√9+4√5

tak więc badana suma ma postać

	1
x+		,
	x

przy czym (1) 2 < x <3 (bo 8 <9+4√5<27), a więc

	1		1		1
(2)		<		<		.
	3		x		2

Po dodaniu stronami (1) i (2) otrzymamy

	1		1
2		< x+		< 3,5,
	3		x

co oznacza, że jedyną możliwością, aby badana suma była liczbą naturalną, jest

	1
x+		= 3.
	x

Rozwiązanie tego równania daje

	3−√5		3+√5
x =		(liczba za mała, nie spełnia warunku (1)) lub x =		.
	2		2

Pozostaje sprawdzić, czy rzeczywiście wyliczona x jest równa podanej w treści zadania, bo tego nie widać (!), to znaczy, czy

	3+√5
		= 3√9+4√5.
	2

Podniesienie obu stron do trzeciej potęgi daje tożsamość (tego nie piszę, bo łatwe), co kończy dowód, że badana suma jest równa 3.

	3+√5
Trzeba dodać, że		jest właśnie rozwiązaniem równania trzeciego stopnia, które
	2

podał Godzio, tylko jak je rozwiązać?

ICSP: w(3) = 0

PW: Tak, moje ostatnie zdanie jest niepotrzebne, wyłączyła mi się uwaga. U Godzie x oznacza badaną sumę, a nie x, o którym ja pisałem. Równanie Godzia jest łatwe do rozwiązania, a więc sposób jest bardzo dobry − od razu pokazuje, że suma jest równa 3.