wykaż, że liczba jest naturalna Krzysztof Jarzyna: wykaż, że x = √6−2√5 + √29+12√5 −3√5 jest liczba naturalną

ICSP: 6 − 2√5 = (√5 − 1)² 29 + 12√5 = 20 + 12√5 + 9 = (2√5 − 3)²

Krzysztof Jarzyna: wielkie dzięki, męczyłem się z tym dobre półgodziny i nie umiałem tego rozbić

ICSP: omg ktoś mi podziękował To chyba pierwszy raz od tygodnia

Krzysztof Jarzyna: Zatem to na prawdę szkoda, że poziom kultury osobistej tak spada pośród naszego społeczeństwa...

Mila: ICSP, ja dziękuję za Ptolemeusza. Całkiem wypadł mi z głowy. Mnie też prawie nikt nie dziękuje.

ICSP: Mila nie ma za co Ja staram się co jakiś czas przypominać sobie rzadko używane twierdzenia. Dobra okazja jest wtedy gdy ktoś na forum już rozwiąże zadanie i mogę zaproponować alternatywne rozwiązanie

Mila: Dobranoc.

Gustlik: Mój Sposób na liczby typu √a+b√c − może dłuższy w zapisie od podpasowywania pod wzór skróconego mnożenia, ale o wiele mniej kombinacyjny. Korzystam ze wzorów skróconego mnożenia: (√a+√b)²=a+2√ab+b=a+b+2√ab → dla sumy (√a−√b)²=a−2√ab+b=a+b−2√ab → dla róznicy Zrobię tym sposobem przykład √29+12√5 29+12√5=a+b+2√ab Porównuję części "całkowite" i "pierwiastkowe" obu liczb − otrzymuję układ: a+b=29 2√ab=12√5 /:2 b=29−a √ab=6√5 /()² ab=36*5 ab=180 a(29−a)=180 29a−a²=180 −a²+29a−180=0 Δ=b²−4ac=29²−4*(−1)*(−180)=121, √Δ=11

	−b−√Δ		−29−11
a1=		=		=20 ⇒ b1=29−20=9
	2a		2*(−1)

	−b+√Δ		−29+11
a2=		=		=9 ⇒ b2=29−9=20
	2a		2*(−1)

Te liczby to a=20 i b=9, czyli √29+12√5=√20+√9=2√5+3 Ten sposób choć w zapisie dłuższy, to jednak wg mnie jest mniej kombinacyjny i mniej czasochłonny, bo rozwiązanie układu zajmuje mniej czasu niż wymyślenie liczb pasujacych do wzorów skrconego mnozenia. Poza tym dobry sposób dla tych, którzy nie umieją kombinować ze sztucznym rozbijaniem liczb. Drugą liczbę można zrobić podobnie.

ZKS: To sposób który zaprezentował AS jest jeszcze mniej kombinacyjny i czasochłonny od Twojego Gustlik.

	√a + c		√a − c
√a ± √b =		±		gdzie c = √a2 − b
	√2		√2

c = √6² − 20 = √16 = 4

√6 + 4		√6 − 4
	−		= √5 − 1
√2		√2

Gustlik: To chyba powinno być tak: c=√a²−b² √29+12√5= c=√a²−b²=√29²−(12√5)²=√841−720=√121=11

	√29+11		√29−11		√40		√18
√29+12√5=		+		=		+		=
	√2		√2		√2		√2

√20+√9=2√5+3 Ja dla ścisłości zaproponowałbym taki zapis:

	√a+x		√a−x
√a±b√c=		±		, gdzie x=√a2−(b√c)2
	√2		√2

ZKS: Właśnie o to chodzi że nie tak jak piszesz zobacz jak ja przedstawiłem (znaczy AS) liczbę pod pierwiastkiem a ± √b więc c² = a² − b

Gustlik: Wuiem, o co chodzi, ale często przed pierwiastkiem jest jakiś współczynnik, więc lepiej byłoby przyjać nie a±√b lecz a±b√c, wtedy zamiast Twojego c masz x²=a²−(b√c)², po prostu ogólniejszy zapis.

ZKS: Ale sposób ten jest łatwy i mało czasu zabiera uczniom.

Gustlik: Łatwy, fakt, o wiele lepszy od mojego, a już o niebo lepszy od kombinowania ze wzorami skróconego mnożenia.

Bogdan: Krzysztof podał takie wyrażenia: a) √ 6 − 2√5 b) √ 29 + 12√5 Postępuję następująco w przypadku wyrażenia √ a + 2b√c (zapisuję 2b√c, a nie b√c bo wygodniej będzie mi wyjaśnić postępowanie): − biorę b√c, czyli połowę składnika 2b√c i tworzę iloczyn: b√c * 1, następnie podnoszę w pamięci do kwadratu każdy z czynników i dodaję obliczone kwadraty, czyli (b√c)² + 1², jeśli suma równa się a, to mam rozwiązanie, jeśli nie, to − tworzę kolejny iloczyn: b * √c, podnoszę te czynniki do kwadratu i dodaję obliczone kwadraty, jeśli suma równa się a, to mam rozwiązanie, jeśli nie, to: − tworzę kolejny iloczyn, itd, aż do skutku. Np. jeśli a + 2b√c jest liczbą a + 8√6, to można utworzyć iloczyny: 4√6 * 1, (4√6)² + 1² = 144 + 1 = 143 4 * √6, 4² + (√6)² = 16 + 6 = 22 2 * 2√6, 2² + (2√6)² = 4 + 24 = 28 4√3 * √2, (4√3)² + (√2)² = 50 itd, aż otrzymam a. W podanym zadaniu: a) √ 6 − 2√5 , √5 * 1, (√5)² + 1 = 6 pasuje, więc √ 6 − 2√5 = √ (√5 − 1)² = |√5 − 1| = √5 − 1 b) √ 29 + 12√5 , 6√5 * 1, (6√5)² + 1² = 36*5 + 1 ≠ 29, nie pasuje, 6 * √5, 6² + (√5)² = 36 + 5 ≠ 29, nie pasuje, 3 * 2√5, 3² + (2√5)² = 9 + 20 = 29, pasuje, więc √ 29 + 12√5 = √ (3 + 2√5)² = |3 + 2√5| = 2√5 + 3 Kończąc zadanie Krzysztofa zapisujemy rozwiązanie następująco: x = √6 − 2√5 + √29 + 12√5 − 3√5 = √ (√5 − 1)² + √ (3 + 2√5)² − 3√5 = = |(√5 − 1| + |3 + 2√5| − 3√5 = √5 − 1 + 3 + 2√5 − 3√5 = 2 ∊ N, co należało wykazać. To dość szybka i łatwa metoda pamięciowego znajdowania rozwiązania, szczególnie przydatna wtedy, gdy mamy ograniczony czas, np. podczas egzaminu maturalnego.

mayki: wykaż, że jeśli a > 0, to 2/a+2 >/( a+2)/a² +4

jankij:

	2
a=
	√2 − √3

b=√5−2√6 Wykaż że iloczyn tych liczb jest liczbą naturalną

5-latek: Z liczby a usun niewymiernosc z mianownika Liczbe b przeksztalc do postaci | cos tam| masz bardzo ladnie opisane w poscie jak to zrobic Potem pomnoz te liczby i wykaz ze iloczyn tych 2 liczb jest lub nie jest liczba naturalna

jankij: niewiem oco chodzi−pomocy

Piotr 10:

	2(√2+√3)		2(√2+√3)
a=		=		=
	(√2−√3)(√2+√3)		−1

2√2+2√3		−1(−2√2−2√3)
	=		=−2√2−2√3
−1		−1

b=√(√2−√3)²=I√2−√3I=−√2+√3=√3−√2 a*b=(−2√2−2√3)(√3−√2)=−2√6+4−6+2√6=−2 hmm znajdź gdzieś błąd

ICSP: a < 0 , b > 0 ⇒ a*b < 0 ∉ N sprzeczność a < 0 bo licznik > 0 a mianownik < 0

jankij: Wielkie dzięki

jankij:

	3
Dane są liczby a=|		| b=√8−2√15 Wykaż, że iloczyn tych liczb jest liczbą
	√3−√5

naturalną.

Basia: wskazówka: 8 − 2√15 = 8 − 2√3*√5 = 3 − 2√3*√5 + 5 = (√3−√5)²

jajo: a nie widać, że 8 − 2√15 = (√5 − √3)² oraz, że |√3 − √5| = √5 − √3 ?

pigor: ..., np. tak : b= √8−2√15= √3−2√3√5+5= √(√3−√5)²= |√3−√5| ,

	|3|
więc ab=		* |√3−√5|= |3|= 3∊ N.
	|√3−√5|

jankij: Dzięki ale powyżej gdzie piotr 10 rozwiązał zadanie powinno być 2 anie −2 według matematyczki pozdrawiam

Milenaa: Co jest większe 4√80 czy 6√37?