f mrrr: Dany jest okrąg w którym wpisany jest trójkąt równoboczny o boku a. Wyraź za pomocą promienie okręgu długość boku tego trójkąta. Proszę o pomoc.

Anna: wiesz jaki jest związek między wysokościa tego trójkata a promieniem okręgu?

pawel: r=²₃h

Anna: wzór na wysokość w trójkacie równobocznym o boku a

	a√3
h=
	2

Anna:

	2		3
r=		h →h=		r
	3		2

	a√3
h=
	2

3		a√3
	r=		/2
2		2

3r=a√3 /:√3

3r
	=a
√3

3√3r
	=a
3

a=√3r

Bogdan: A po co brać wysokość. Propozycje obejmujące w tym prostym problemiku wykorzystanie wysokości świadczą o schematyzmie, a co za tym idzie o bezmyślności. R − długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, a − długość boku trójkąta równobocznego.

	1
R =		a√3 /*√3 ⇒ a = R√3
	3

mrrr: Dziękuję za odpowiedzi. Chciałbym jednak aby tę zależność wykazać a nie korzystać ze wzorów. Jako, że to trójkąt równoboczny − kąty CAB, ABC, ACB są równe i mają miarę 60 st. Kąty BAr ma miarę 30 st. a kąt ASB ma miarę 120 st (kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąty mające 60 st i oparte na okręgu). jak korzystając pociągnąć dalej to rozumowanie aby dojść do tego, że a = R√3?

Bogdan: Np. tak: Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków.

	1   a   2		1   a 2		√3
W trójkącie prostokątnym ADS:		= cos30o ⇒		=
	R		R		2

Stąd a = R√3

PW: Jeżeli już "przerabiałeś" twierdzenie sinusów, to najprościej będzie

	a
		= 2R.
	sinα

	√3
Jak wiadomo w trójkącie równobocznym α = 60°, a sin60° =		,
	2

więc

	a
		= 2R,
	√3   2

a = R√3.

Basia: Mnie się rozwiązanie Anny podoba. Rozwiązanie PW też, pod warunkiem, że (jak sam napisał) mrrr zna już twierdzenie sinusów. Rozwiązanie Anny jest może nieco dłuższe, ale nie wymaga pamiętania żadnych wzorów (bo i wysokość można sobie policzyć z tw.Pitagorasa) i nie wymaga znajomości funkcji trygonometrycznych, a jedynie znajomości cech trójkąta równobocznego. Może je więc również wykorzystać gimnazjalista.