Dla jakich naturalnych n^4+4 jest pierwsza? sari45: Dla jakich naturalnych n⁴+4 jest pierwsza?

Vax: Zauważ, że n⁴+4 = (n²+2n+2)(n²−2n+2), więc żeby to było liczbą pierwszą musi być n²−2n+2 = 1 ⇔ n=1

Nienor: Z: n∊N n⁴+4=(n²+2)²−2*2n²=(n²+2−2n)(n²+2+2n)=(n²−2n+2)(n²+2n+2) Żeby wyszła z tego liczba pierwsza ten iloczyn musi być postaci: 1*[liczba pierwsza] Sprawdzam dla jakich n ten pierwszy nawias jest równy 1 n²−2n+2=1 n²−2+1=0 (n−1)²=0 n−1=0 n=1 Sprawdzam, czy dla n=1 drugi nawias jest liczbą pierwszą: 1+2+2=5 → jest liczbą pierwszą, więc n=1 spełnia warunek zadania. Sprawdzam co się dzieje kiedy drugi nawias jest równy 1 n²+2+2=1 n²+2n+1=0 (n+1)²=0 n+1=0 n=−1 ∊N Więc tylko dla n=1, liczba n⁴+4 jest liczbą pierwszą. Sprawdzam to: 1+4=5 → jest liczbą pierwszą.

sari45: Wielkie dzięki za rozpisanie! Obawiam się że sama bym na to nie wpadła: )

PW: @Nienor: Nie trzeba było sprawdzać, czy n²+2n+2 może być jedynką, Jest to na pewno liczba większa od 5 lub równa 5 (wszystkie składniki są dodatnie). Wystarczyło tak napisać. Jestem już stary, więc pomarudzę: zawsze trzeba przed rozpoczęciem liczenia czegokolwiek rzucić okiem, by sprawdzić, czy nie jest to oczywiste, można nieraz zaoszczędzić sporo czasu, którego na egzaminie brakuje.