Obliczyć całkę Kasia.:

	1−x2
∫		dx
	x + x3

proszę o jakąś wskazówkę

Vizer: Rozłóż na ułamki proste.

Kasia.:

	1−x2		1		2x
wychodzi mi, że		=		−
	x+x3		x		1+x2

zgadza się?

Vizer: Dobrze

Kasia.: a może jakaś podpowiedź do równania (x² − 1)y' + 2xy² = 0 wiem, że to równanie o zmiennych rozdzielonych i jakoś mi nei wychodzi nic

Krzysiek:

	−2xy2
y'=
	x2 −1

czyli:

	dy		−2xdx
∫		=∫
	y2		x2 −1

Kasia.: mogę rozpisac to tak ?

	dy
(x2 −1)		= − 2xy2
	dx

x2 −1		−2xy2
	=		/:x
dx		dy

x2 −1		−2y2
	=
xdx		dy

Kasia.: czyli moje rozumowanie pokrętne prowadzi do tego samego ?

Kasia.:

	1
czyli dochodzę do tego, że −		= −ln|x2 − 1 | + C
	y

Jak można z tego ładnie wyznaczyć y ? Wiem, że da się jakoś to C ładnie wmanewrować tam

Krzysiek:

1
	=a
y

czyli:

	1
y=
	a

tą stałą C, możesz pod logarytm dać C=lnC₁

Kasia.: a macie jakiś pomysł na równanie xy' = x + y

Kasia.:

	y
podzielić przez x i zastosować podstawienie u=		?
	x

Krzysiek:

	y
y'−		=1
	x

równ. jednorodne:

	y
y'−		=0
	x

rozwiązanie równ. jednorodnego: y₀=Ce^lnx =Cx (korzystam z gotowego wzoru, który można wyprowadzić rozdzielając zmienne) teraz szukamy rozw. szczególnego równ. niejednorodnego: y'−y/x=1 metodą uzmienniania stałej: y=C(x)x wstawiamy do równania: C'(x)x+C(x)−C(x)=1 czyli: C'(x)=1/x zatem: C(x)=∫1/x dx =lnx+C₁ zatem rozwiązanie równania xy'=x+y jest: y=(lnx+C₁) x =xlnx +C₁ x

Krzysiek: ale można też jak napisałaś na to samo wyjdzie, a będzie w sumie łatwiej

Kasia.: dziękuję bardzo. może jakaś wskazówka do zadania y' + 2xy = xe^−x2

Krzysiek: podobnie rozwiąż równanie jednorodne a potem metoda uzmienniania stałej spróbuj Sama.

Kasia.:

	x2
wyszło mi, że y = c e−x2 +		e−x2
	2

jeśli liczyłeś możesz napisać czy dobrze dzięki za pomoc

Krzysiek: ok, możesz Sama sprawdzać wyniki np: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%2B2xy%3Dxe%5E%28-x%5E2+%29