Rozwiąż równania i nerówności z wartością bezwzględną Crowely: −3 < |5 − x| < 2 |x + 3| > |x −2| |5x − 2| −3|4 − 2x| <2,5 Proszę o pomoc bo naprawdę mam z tym problem a we wtorek mam kartkówkę z tego na rozszerzeniu

Crowely: z góry dzięki!

krystek: a) I5−xI<2⇔5−x<2 i 5−x>−2 ponieważ I5−xI>−3 dla każdego x

krystek: b) musisz rozpatrzyć w przedziałach (−∞,−3) U<−3,2) U <2,∞) analog. c)

Crowely: a więc w przykładzie A w 1 równaniu bedzie 8>x>3 i część wspolna to <5 ,8) w 2 równaniu będzie 2< x < 7 i część wspólna to (2 ,5)

pigor: ... a więc np. tak : −3<|5−x|<2 ⇔ −3< |x−5|< 2 ⇔ |x−5| > −3 ∧ |x−5|< 2 ⇔ x∊R ∧ −2< x−5< 2 ⇔ ⇔ −2+5< x< 2+5 ⇔ 3< x< 7 ⇔ x∊(3;7) ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |x+3| >|x−2| ⇔ |x−2|< |x+3| ⇔ −(x+3)<x−2<x+3 ⇔ −x−3+2<x< x+5 ⇔ x<x+5 ∧ x>−x−1 ⇔ ⇔ 0<5 ∧ 2x>−1 ⇔ x∊R ∧ x>−¹₂ ⇔ x>−¹₂ ⇔ x∊(−¹₂;+∞) ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |5x−2|−3|4−2x|< 2,5 pobaw się sam w odpowiednich przedziałach . ...

Crowely: Dlaczego w tym pierwszym przykładnie jest −2 < x −5 < 2 a nie naprzykład −3 < x−5< 3?

PW: Z a w s z e trzeba rzucić okiem na sens zadania, zanim zacznie się stosować schematy. W pierwszym mamy do czynienia z "podpuchą" autora zadania. Zastanów się: co to za informacja −3 < |5−x|? Ano żadna, bo z definicji wartość bezwzględna jest nieujemna − nie ma co się nad tym zastanawiać, ta nierówność jest prawdziwa dla każdej x. Pozostaje rozwiązać .|5−x| < 2, czyli −2 < 5−x < 2; dodajemy stronami −5: −7 < −x < −3, mnożymy stronami przez −1: 7 > x > 3. Odpowiedź: x ∊ (3, 7).

Gustlik: −3 < |5 − x| < 2 Masz "przestawione" odejmowanie, skorzystaj z |a−b|=|b−a|, wygodniej się robi, gdy "x" jest pierwszy, a nie na koncu. −3 < |x − 5| < 2 Rozbijasz na koniunkcję 2 nierówności: (1) |x−5|>−3 ⇒ x∊R, bo moduł zawsze jest nieujemny, a więc większy od liczby ujemnej, (2) |x−5|<2 Rozwiązujesz jak równanie − liczba spod modułu zmienia znak, a tę z prawej strony raz dodajesz, a potem odejmujesz. x=5±2 x=7 v x=3 Przedział rysujesz od prawego końca i idziesz zgodnie ze znakiem nierówności < czyli w lewo, a na lewym końcu się zamknie. x∊(3, 7) Rozwiązaniem jest częśc wspólna (1) i (2), a więc x∊(3, 7), bo w (1) było x∊R.

Gustlik: |x + 3| > |x −2| Jak są dwa (i więcej) modułów, to wyznaczam miejsca zerowe każdego modułu i otrzymuję: x=−3 i x=2 Potem metoda "osi i tabelki" − korzystasz z faktu, że każde wyrażenie typu x−a jest ujemne na lewo od swojego miejsca zerowego (zaznaczyłem czerwoną linią), a dodanie na prawo od niego. A więc na lewo od miejsca zerowego moduł danego wyrażenia opuszczamy ze zmianą znaku, a na prawo − bez zmiany znaku. Z osi i tabelki łatwiej sie odczytuje − metoda przyjazna dla wzroku, uczeń po prostu widzi, co robi − łatwiej jest ułożyć przypadki. Teraz jedziesz "kolumnami", a założeniami są przedziały zaznaczone nad daną kolumną: 1^o) −x−3>−x+2 i x∊(−∞, −3) 2^o) x+3>−x+2 i x∊<−3, 2) 3^o) x+3>x−2 i x∊<2, +∞) Teraz rozwiązujesz te 3 przypadki − rozwiązaniem każdego przypadku jest część wspólna rozwiązania nierówności i założenia. ad 1^o) −x−3>−x+2 i x∊(−∞, −3) −x+x>2+3 0>5 ⇒ sprzeczność ⇔ x∊∅ ad 2^o) x+3>−x+2 i x∊<−3, 2) x+x>2−3 2x>−1 /:2

	1		1
x>−		i i x∊<−3, 2) ⇒ x∊(−		, 2)
	2		2

ad 3^o) x+3>x−2 i x∊<2, +∞) x−x>−2−3 0>−5 ⇒ tożsamość ⇒ x∊R i x∊<2, +∞) ⇔ x∊<2, +∞) (przy tożsamości całe założenie jest rozwiązaniem) Na końcu rozwiązania przypadków sumujemy:

	1		1
1o U 2o) U 3o) ⇔ x∊∅U(−		, 2)U<2, +∞) ⇔ x∊(−		, +∞)
	2		2

Gustlik: |5x − 2| −3|4 − 2x| <2,5 W drugim module masz znowu "przestawione" odejmowanie − skorzystaj z |a−b|=|b−a|, jak w przykładzie pierwszym, bo łatwiej jest z "x"−em na początku, otrzymasz: |5x − 2| −3|2x − 4| <2,5 /*2 (aby pozbyć się ułamka z prawej strony) 2|5x−2|−6|2x−4|<5 Teraz wyznacz miejsca zerowe modułów i "osią i tabelką", jak przykład drugi.

PW: Napiszę , jak rozwiązać b) tak, żeby nie stosować schematu "podziału na przedziały". |x+3| > |x−2|. Sprawdzamy, że liczba 2 spełnia nierówność: |2+3| > |2−2| − zdanie prawdziwe. Dla pozostałych x prawa strona nierówności jest liczbą dodatnią, możemy więc podzielić obie strony nierówności przez |x−2| nie zmieniając nierówności na przeciwną:

	|x+3|		x+3		x−2+5		5
		> 1 ⇔ |		| > 1 ⇔ |		| > 1 ⇔ |1 +		| >1 ⇔
	|x−2|		x−2		x−2		x−2

	5		5		5		5
1 +		>1 ∨ 1 +		< −1 ⇔		> 0 ∨		< −2.
	x−2		x−2		x−2		x−2

W pierwszej nierówności ułamek o liczniku 5 ma być dodatni, więc mianownik też musi być dodatni. Druga nierówność jest spełniona, gdy mianownik jest ujemny (przy mnożeniu pamiętamy o zmianie nierówności na przeciwną).

	5
x−2 > 0 ∨		< −2
	x−2

x > 2 ∨ x−2 < 0 ∧ 5 > −2 ^. (x−2) x >2 ∨ (x < 2 ∧ 5 > −2x +4) x > 2 ∨ (x < 2 ∧ 1 > −2x)

	1
x > 2 ∨ (x < 2 ∧ x > −		)
	2

	1
x ∊ (2,∞) ∨ x ∊ (−		,2).
	2

Pamiętając o tym, że liczba 2 też spełnia nierówność, możemy udzielić odpowiedzi:

	1		1
Rozwiązaniem nierówności jest (−		,2> ∪ (2,∞) = (−		, ∞).
	2		2

Okazuje się, że można rozwiązać nie rozpatrując "przypadków", czego też nie lubię.

pigor: ... no to jeszcze np. tak : |x+3| >|x−2| ⇔ |x+3|² >|x−2|² ⇔ (x+3)²−(x−2)² >0 ⇔ ⇔ (x+3−x+2)(x+3+x−2) >0 ⇔ 2x+1 >0 ⇔ x > −¹₂ ⇔ x∊(−¹₂;+∞). ...

Eta: dla pigora

Gustlik: PW, ja też nie lubie podziału na przedziały, ale tego robionego "szkolną" metodą. Dlatego opracowałem metodę "osi i tabelki" bo z tego te przedziały i przypadki się bardzo szybko odczytuje, a tabelka nie jest skomplikowana. Korzystam z "graficznej" interpretacji definicji wartości bezwzględnej, zamiast sie rozpisywać, że |x−a|={x−a, gdy x−a≥0⇔x≥a {−x+a, gdy x−a<0⇔x<a to rozrysowałem to sobie w sposób przedstawiony na rysunku i na lewo od miejsca zerowego takie wyrażenie (x−a) jest ujemne, więc tam opuszczam moduł ze zmianą znaku, a na prawo od miejsca zerowego wyrażenie (x−a) jest dodatnie, więc opuszczam moduł bez zmiany znaku, a założenia odczytuje z przedziałów. Stąd metoda "osi i tabelki", którą polecam, bo jest pzrejrzysta. Pozdrawiam

Gustlik: Pigor, bardzo dobra metoda, ale dla przypadków, gdy gdy poza dwoma modułami nic nie ma w równaniu czy nierówności, ciężko by się tą metodą robiło przykład trzeci, bo tam jest z prawej strony 2,5. Metoda "osi i tabelki" jest bardziej uniwersalna, poza tym można nią rozwiązywać, gdy w modułach są funkcje kwadratowe lub wielomiany jeszcze wyższych stopni.