zadanko tomasz: Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem. Jaka powinna być podstawa prostokąta aby przy obwodzie okna wynoszącym 2 metry powierzchnia okna była największa?

AS: Obwód składa się z podstawy (2*x) , ram bocznych (2*b) i połowy okręgu o promieniu x. Stąd równanie: 2*x + 2*b + π*x = 2 => 2b = 2 − 2*x − π*x b = 1 − x − π*x/2 Pole powierzchni okna y = 2*x*b + π*x²/2 Do równania funkcyjnego y podstawiam wyliczone b y = 2*x*(1 − x − π*x/2) + π*x²/2 y = 2*x − 2*x² − π*x² + π*x²/2 y = (π/2 − 2 − π)*x² + 2*x y = (−2 − π/2)*x² + 2*x w wyniku otrzymałem funkcję kwadratową, o ramionach skierowanych do dołu. Sposób 1. Maksimum znajduje się w w wierzchołku paraboli xw = −b/(2*a) = −2/(2*(−2 − π/2) = 2/(4 + π) Sposób 2: Wyznaczyć pochodną funkcji i ustalić ekstremum y ' = 2(−2 − π/2)*x + 2 = 0 => x = 2/(4 + π) Szukana podstawa wynosi p = 2*x = 4/(4 + π)