zadanie z trójkątem alaa: Oblicz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy √2 +1

AS: Zakładam,że a,b − przyprostoatne trójkata prostokątnego , c − przeciwprostokątna. Promień koła opisanego R = c/2 Promień koła wpisanego r = S/p , s − pole trójkata , p = połowa obwodu S = a*b/2 , p = (a + b + c)/2 r = (a*b/2)/((a + b + c)/2) = a*b/(a + b + c) c/2 c*(a + b + c) k = R/r = −−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− a*b/(a + b + c) 2*a*b Wyznaczam boki a i b wprowadzając c i α a = c*sinα , b = c*cosα c*(c*sinα + c*cosα + c) sinα + cosα +1 k = −−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−− = √2 2*c*sinα*c*cosα 2*sinα*cosα Do rozwiązania pozostaje równanie trygonometryczne postaci sinα + cosα + 1 = 2*√2*sinα*cosα Stosuję podstawienie sinα = 2*t/(1 + t²) , cosα = (1 − t²)/(1 + t²) gdzie t = tg(α/2) 2*t/(1 + t²) + (1 − t²)/(1 + t²) + 1 = 2*√2(2*t/(1 + t²)*(1 − t²)/(1 + t²) Po uporządkowaniu dostaję równanie stopnia trzeciego 2*(1 + 2*√2)*t³ + 2*t² + 2*(1 − 2*√2)*t + 2 = 0 Jednym z pierwiastków jest t = −1