zadanko z rówaniem prostej tomek : A oto kolejne moje zdanie jakie musze umieć,: napisz równanie płasczyzny w postaci ogólnej zawierajacą prostą l1 i punkt A(1,2,1)

	⎧	x−2y+z−2=0
l1	⎩	2x−y+3z−4=0

wektor normalny → n1 [1,−2,1] → n [2,−1,3] n1 x n2 [−5,−1,1] i co dalej z tym zrobić? bardzo prosze o jakąś pomoc

Vizer: Wyznacz sobie jeszcze 2 punkty należące do tej prostej i już masz 3 punkty, które należą do tej płaszczyzny i teraz łatwo można ją wyznaczyć.

pigor: ... , no to masz już wszystko jeśli dobrze policzyłeś iloczyn wektorowy , więc podstaw ten wektor i dany punkt do równania płaszczyzny przez jeden punkt A(x−x_o)+B(y−y_o)+C(z−z_o)=0, to otrzymasz −5(x−1)−1(y−2)+1(z−1)=0 ⇔ −5x+5−y+2+z−1=0 ⇔ −5x−y+z+6=0 ⇔ 5x+y−z−6=0 − szukane równanie płaszczyzny . ...

tomek : a to nie może byc tak ze jak mam popdany punkt przez który przechodzi płasczyzna A(1,2,1) no i badz co bądz mam juz obliczony wektór normalny czyli prostopadły N [−5,−1,1] to tyle michyba juz wystarczy, prawda

pigor: ... a teraz jestem w kropce, czy nie pospieszyłem się

Vizer: pigor ja może się nie znam, bo nie czuję się mocny w geometrii analitycznej, ale wydaje mi się, że iloczyn wektorowy n₁ i n₂ stworzy nam wektor równoległy do prostej l₁, więc nie możemy go użyć w równaniu ogólnym, bo tam potrzebujemy wektor normalny do płaszczyzny.

pigor: ..powiem tak , wektor znaleziony przez kolegę, to wektor kierunkowy danej prostej w postaci krawędziowej , więc to co ja zrobiłem to jest płaszczyzna przez dany punkt i prostopadła do tej prostej , a nie przechodząca przez tę prostą , a twój sposób jest moim zdaniem dobry . ...

Vizer: No to teraz się zgadzam z Tobą

Basia: wektory n₁ i n₂ są prostopadłe do płaszczyzn ich iloczyn wektorowy jest prostopadły do każdego z nich czyli równoległy do prostej i to wystarczy do napisania równania tej prostej (ale nie do napisania równania płaszczyzny) w równaniu

x−x0		y−y0		z−z0
	=		=
a		b		c

[a;b;c] jest wektorem kierunkowym prostej (czyli do niej równoległym) teraz tak jak radził Vizer znajdź dwa dowolne punkty należące do tej prostej i skorzystaj z równania płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty ale może jest prostszy sposób ?

tomek : no tak, ale potzrebuje rówanie płasczyzny zawierającej prostą l i punkt A , a jak znajśc te 2 punkty na prostej l

Basia: prosta jest częścią wspólną płaszczyzn x−2y+z−2=0 2x−y+3z−4=0 czyli układ równań (1)*(−3) −3x + 6y − 3z + 6 = 0 2x − y +3z − 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −x + 5y + 2 = 0 x − 2 = 5y

y		x−2
	=
1		5

(1)*(−2) −2x+4y−2z+4 = 0 2x − y + 3z − 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −3y + z = 0 3y = z

y		z
	=
1		3

równanie prostej:

x−2		y		z
	=		=
5		1		3

wybieram sobie dowolne x np. x=2 i x=7 (żeby się łatwo liczyło) dla x=2 mam

y
	= 0 ⇒ y=0
1

z
	=0 ⇒ z=0
3

mam punkt B(2;0;0) dla x=7 mam

y
	= 1 ⇒ y=1
1

z
	= 1 ⇒ z=3
3

mam punkt C(7;1;3) piszę równanie płaszczyzny wyznaczonej przez A,B i C

Basia: no i coś się nie zgadza chyba bo mój wektor normalny prostej jest zupełnie inny niż Twój iloczyn wektorowy gdzieś musi być błąd (albo tu, albo tu, albo w ogóle źle myślę)

Vizer: W zadaniu masz prostą przedstawioną w postaci krawędziowej, bo jest to prosta powstała poprzez przecięciu się dwóch płaszczyzn, to co tam masz to układ równań z trzema niewiadomymi i dwoma równaniami więc jedno z nich możesz traktować jako parametr czyli np. dla z = 0 i liczysz sobie co Ci wychodzi itd.

Basia: ale równanie, które napisał pigor jest błędne on tam użył współrzędnych punktu A, a przecież A nie należy do tej prostej

Vizer: Basiu chyba w tym drugim układzie jak liczysz to powinno być +3y

Basia: oczywiście; ale chyba i tak nie wyjdzie to samo 3y + z = 0 3y = − z

y		z
	=
1		−3

czyli będzie

x−2		y		z
	=		=
5		1		−3

może jeszcze gdzieś jest jakiś błąd rachunkowy ?

pigor: ... napisz równanie płaszczyzny w postaci ogólnej zawierającą prostą l₁ i punkt A=(1,2,1) ⎧ x−2y+z−2=0 l1 ⎩ 2x−y+3z−4=0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... o kurcze warto zauważyć tu, że dany punkt A spełnia równanie pierwszej płaszczyzny danej prostej l₁ , bo 1−2*2+1−4= 0 , a więc leży na niej , a to oznacza, że x−2y+z−2=0 to szukana płaszczyzna i koniec . ... jaki stąd wniosek ... ano warto zawsze od tego zacząć szukanie płaszczyzny spełniającej dany warunek . a tak ogólnie to tej płaszczyzny warto szukać z równania pęku płaszczyzn i nawet chciałem to zrobić , ale jedna z nich wyzerowała mi parametr λ , stąd to rozwiązanie powyżej . ...

Basia: co Ty pleciesz pigor 1 − 2*2 + 1 − 2 = 1−4+1−2 ≠0 2*1−2+3*1−4 = 2−1+3−4≠0

tomek : ja już sie w tym wszystkim pogubiłem

Basia: i j z 1 −2 1 2 −1 3 (−1)²*[−6+1]i + (−1)³*[3−2]j + (−1)⁴[−1+4]z = −5i − j + 3z tomek źle policzył iloczyn wektorowy teraz zgadza się z moimi obliczeniami

Basia: metodą Sarrusa i*(−2)*3 + j*1*2 + z*1*(−1) − [ z*(−2)*2 + i*1*(−1) + 3*1*j ] = −6i + 2j − z − [−4z − i + 3j ] = −6i+i + 2j−3j − z+4z = −5i − j + 3z

Vizer: Czego nie rozumiesz tomaszu ?

pigor: ...o kuuuuuuurcze faktycznie, no to teraz łopatologicznie rzecz ujmując z równania pęku szukam płaszczyzny przez daną prostą i dany punkt tak : x−2y+z−2+λ(2x−y+3z−4)=0 i 1−2*2+1−2+λ(2*1−2+3*1−4)=0 , gdzie −4+λ*(−1)=0 ⇔ ⇔ λ=−4 ⇒ x−2y+z−2−4(2x−y+3z−4)=0 ⇔ x−2y+z−2−8x+4y−12z+16=0 ⇔ ⇔ −7x+2y−11z+14=0 ⇔ 7x−2y+11z−14=0 − szukane równanie płaszczyzny . ...

tomek : już cyba rozumiem, to co liczyła Basia to jest wzór na prosta l, policzyła potem dwa dowolne punkty przez które przechodzą , a teraz zapomocą mam punkty A B C moge sobie smiało liczyć wzór płasczyzny dzięki wielkie Wam wszystkim

Basia: i teraz wszystko się zgadza; krótko mówiąc lenistwo ukarane (moje i Wasze) trzeba było od razu sprawdzić ten iloczyn wektorowy

Basia: tomek fajnie, że zrozumiałeś, ale sposób pigora z równaniem pęku jest znacznie szybszy i bardziej elegancki spróbuj go przyswoić