Ile punktów wspólnych mają proste Thor: Ile punktów wspólnych mają proste:

x+3		y		z
	=		=
3		−2		1

oraz

x+3		y		z
	=		=
−3		2		1

hwdtel i Zen64: nieskończenie wiele(tzn pokrywają się)

Thor: Jak to udowodnić? Jeśli by się nie pokrywały i miały 1 punkt wspólny, to jak to pokazać/obliczyć?

Vizer: W mianownikach w tych dwóch prostych są liczby przedstawiające wektor równoległy do nich, tak więc tworzymy sobie iloczyn wektorowy z tych wektorów i wynik nam powie co się będzie działo z prostymi.

Thor: Mógłbyś to jakoś rozpisać? Byłbym wdzięczny.

Vizer: No to mamy wektor rónoległy do pierwszej prostej : [3,−2,1] i wektor równoległy do drugiej : [−3,2,1] Liczymy iloczyn wektorowy: i j k [3,−2,1] x [−3,2,1] = 3 −2 1 = −2i + 6k − 3j − 6k − 2i − 3j = −4i − 6j + 0k −3 2 1 Czyli jak na moje proste się po prostu przecinają, czyli mają jeden punkt wspólny.

Thor: Mógłbyś wytłumaczyć, dlaczego akurat 1 punkt wspólny? Jak odczytałeś to z '−4i − 6j + 0k'?

%3Cb%20style%3D%22color%3A%23e87a2c%22%3EVizer%3A%3C%2Fb%3E%20Mo%C5%BCe%20mnie%20kto%C5%9B%20poprawi%C4%87%2C%20bo%20mog%C4%99%20si%C4%99%20myli%C4%87%2C%20ale%20jak%20wiemy%20iloczyn%20wektorowy%20to%20wektor%0A%20prostopad%C5%82y%20jakie%20tworz%C4%85%20dwa%20wektory%2C%20ale%20jakby%20te%20wektory%20by%C5%82y%20r%C3%B3wnoleg%C5%82e%20wzgl%C4%99dem%20siebie%2C%20to%0A%20iloczyn%20wektorowy%20wyszed%C5%82%20by%20nam%200%2C%20czyli%20proste%20tworzone%20przez%20takie%20wektory%20by%C5%82yby%0A%20r%C3%B3wnoleg%C5%82e%2C%20tutaj%20nam%20wyszed%C5%82%20jaki%C5%9B%20wynik%2C%20wi%C4%99c%20znaczy%20to%20tyle%2C%20%C5%BCe%20nie%20sa%20do%20siebie%0A%20r%C3%B3wnoleg%C5%82e%2C%20a%20wi%C4%99c%20przecinaj%C4%85%20si%C4%99.%0A%0A

Vizer: Może mnie ktoś poprawić, bo mogę się mylić, ale jak wiemy iloczyn wektorowy to wektor prostopadły jakie tworzą dwa wektory, ale jakby te wektory były równoległe względem siebie, to iloczyn wektorowy wyszedł by nam 0, czyli proste tworzone przez takie wektory byłyby równoległe, tutaj nam wyszedł jakiś wynik, więc znaczy to tyle, że nie sa do siebie równoległe, a więc przecinają się.

pigor: ... otóż, dane proste przechodzą przez ten sam punkt (−3,0,0) i wyznacznik : | 3−3 0−0 0−0 | | 3 −2 1 | = 0 , a to jest warunek przecinania się prostych , więc dane proste | −3 2 1 | to proste przecinające (leż a w jednej płaszczyźnie) .

Basia: bez wyznacznika to tak:

y		z
	=
−2		1

y		z
	=
2		1

y = −2z y = 2z −2z = 2z −4z = 0 z=0 y = 2*0 y=0

x+3		z
	=		= 0
3		1

x+3 = 0 x= −3 P(−3;0;0) wniosek jak wyżej

Vizer: A mój pomysł jest dobry czy czegoś mu brakuje, całkiem zły ?

Basia: nie pamiętam już za bardzo tych rzeczy nie wiem jaki jest związek iloczynu wektorowego z wzajemnym położeniem prostych

Vizer: Na pewno wiem, że gdy wektory u i v są liniowo zależne (równoległe), to u x v = 0 Dzięki temu np. możemy dowiedzieć się czy punkty są współliniowe, gdy iloczyn skalarny np. wektorów AB i AC wyjdzie 0 to wniosek: punkty są współliniowe.

Basia: ale to że proste w przestrzeni nie są równoległe nie znaczy, że mają punkt wspólny przecież mogą być skośne

Vizer: Racja, czyli moje rozwiązanie jest złe

AS: Powołuje się na Bronstejna Poradnik encyklopedyczny Dane są proste {y = k1*x + a1 , z = h1*x + b1} , {y = k2*x + a2, z = h2*x + b2} Punkt przecięcia

	a2 − a1		b2 − b1
xp =		=
	k1 − k2		h1 − h2

	k1*a2 − k2*a1
yp =
	k1 − k2

	h1*b2 − h2*b1
zp =
	h1 − h2

pod warunkiem,że jest spełniona zależność (a1 − a2)*(h1 − h2) = (b1 − b2)*(k1 − k2) W przeciwnym przypadku nie przecinają się.

Basia: tak samo sobie policzyłam, tyle, że bez wzorów,a na zwykły chłopski rozum rozwiązuję układ równań jest jedno rozwiązanie ⇒ przecinają się i od razu mam punkt wspólny jest nieskończenie wiele ⇒ pokrywają się nie ma ⇒ nie ma punktów wspólnych czyli tutaj są skośne (bo z wektorów kierunkowych widać, że nie są równoległe)