wielomiany Saizou : jak podzielić a)(x⁶+1):(x+1) b)(x¹⁰⁰+1):(x+1)

Maslanek: a) niepodzielne b) również Tzn. jest reszta... https://matematykaszkolna.pl/strona/107.html

Saizou : tylko sobie nie wyobrażam rozpisywać x¹⁰⁰+1

Maslanek: To rozpisz x⁴+1. Znajdziesz zależność

Saizou : x⁴+1=(x²+1)²−2x²=(x²+1−√2x)(x²+1+√2x)

Saizou : ja nic nie widzę

Saizou :

Eta: aⁿ+bⁿ= (a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³*b² −....... −a*bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) (x¹⁰⁰+1 ) : (x+1)=.........

Saizou : a jest jakiś inny sposób>?

Saizou : tam jest co drugi minus

Saizou : czyli tak

Saizou : x⁶+1=x⁶+1⁶=(x+1)(x⁵−x⁴+x³−x²+x−1)

Eta: Wykonaj mnożenie i sprawdzisz bez pytania

Saizou : pasuje za wzorek

Saizou : Eta a przy x¹⁰⁰+1 powinno być (x+1)(x⁹⁹−x⁹⁸+x⁹⁷−...−x²+x−1) chodzi mi o końcówkę

Saizou : ja czegoś tu nie rozumiem

Saizou : czyli to co zapisałem dla x⁶+1 jest nieprawdą, bo to daję x⁶−1, ale jak dam +1 to mam x⁶+2x+1

Eta: Sorry Wzór jest prawdziwy dla n −−− nieparzystego !

Saizou : a ma ktoś jakiś pomysł?

Eta:

Eta: x⁶+1= (x²)³+1 =..... teraz wzór na a³+b³ i będzie ok

Saizou : (x²+1)(x⁴−x²+1) i co dalej bo się nic nie rozkłada

Trivial: Można spróbować Hornerem. 1 0 0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 2 Teraz już widać jak będzie:

x6+1		2
	= x5−x4+x3−x2+x−1 +
x+1		x+1

Podobnie....

x100+1		2
	= x99 − x98 + x97 − ... − x2 + x − 1 +		.
x+1		x+1

Eta: Ten wielomian nie jest podzielny przez (x+1) w zb. R Chodziło Ci o wynik z dzielenia? czy o podzielność?

Eta: No właśnie dla Triviala Teraz idę coś zjeść

Saizou : treść zadania : wykonaj dzielenie (x⁶+1):(x+1) (x¹⁰⁰+1):(x+1)

Eta: Mam dzisiaj fatalny dzień głowa mnie ... Zatem sumując: x⁶+1= [(x⁶−1)+2 ] : (x+1) = dzielenie z resztą bo x=−1 nie jest pierwiastkiem dla x⁶−1 −−−−−−−− wzór i reszta 2

Saizou : x⁶−1=(x−1)(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) zatem nie podziel się bez reszty przez x+1

Eta: tak

Eta: Wynik taki jak napisał Ci Trivial

Saizou : zatem trzeba zauważyć zależność że co przy drugim jest minus i na końcu trzeba jeszcze dodać

2
x+1

Saizou : bo to wyjdzie z podzielenia x⁶+1

Eta: tak

Saizou : dla Triviala i Ety

Trivial: Można to też zrobić trochę sprytniej przy wykorzystaniu rekurencji.

	xn+1
Niech fn =		, wtedy:
	x+1

	xn+1		xn−1*(x+1) − xn−1 + 1		−xn−1 + 1
fn(x) =		=		= xn−1 +
	x+1		x+1		x+1

	−xn−2(x−1) + xn−2 + 1		xn−2+1
= xn−1 +		= xn−1 − xn−2 +
	x+1		x+1

= xⁿ⁻¹ − xⁿ⁻² + f_n−2(x) Teraz dobrze widać jaki jest wzorzec.

	x0+1		2
Rozwijamy aż dojdziemy do f0 =		=		.
	x+1		x+1

	x1+1
Jeżeli n byłoby nieparzyste doszlibyśmy do f1 =		= 1.
	x+1

Saizou : to na razie przerasta moje możliwości

Trivial: To nie jest takie trudne. Przykład dla n = 6: f₆(x) = x⁵ − x⁴ + f₄(x) = x⁵ − x⁴ + x³ − x² + f₂(x) = x⁵ − x⁴ + x³ − x² + x¹ − x⁰ + f₀(x)

	2
= x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 +		.
	x+1

Saizou : ale na stan dzisiejszy nie mam czasu żeby to analizować, może w weekend