algebra Ralph: Dla macierzy A=[7, 2] [11, 13] (kolejno wiersze) ∊M₂(ℤ₁₉) znajdź macierze L i U gdzie L jest dolnotrójkątna z jedynkami na przekątnej zaś U jest górnotrójkątna odwracalna taka, że A=L*U. Potrzebuje wogole naj sam pierw sposobu na znalezienie liczby która w tym przypadku pomnożona przez 7 i dodana do 11 w wyniku daje zero w tym ciele...czyli taka w ktorej 19 miesci sie bez reszty. próbowałem w ten sposob 7*x+11=0 7*x=8 x=8*12⁻¹

Ralph: chyba nikt nie lubi algebry

b.: 7x = 8 => x = 7⁻¹*8 jak znaleźć 7⁻¹? używamy algorytmu Euklidesa do znalezienia NWD(19,7), o którym z góry wiemy, że jest równy 1: 19 = 2*7 + 5 7 = 1*5 + 2 5 = 2*2 + 1 stąd 1 = 5 − 2*2 = 5 − 2*(7−5) = 3*5 − 2*7 = 3*(19−2*7) − 2*7 = 3*19 − 8*7 czyli 8*7 = 3*19 − 1 = −1 (mod 19), skąd −8 * 7 = 1 (mod 19) czyli 7⁻¹ = −8 = 11 (mod 19)

b.: warto sprawdzić rachunki: 7*11 = 77 = 76+1 = 1 (mod 19), zgadza się

Ralph: a co sie dzieje po pierwszym "skąd"? nie bardzo rozumiem.... noi nadal nie mam liczby ktora zeruje ...

Ralph: pomoże ktos?:(

Artur_z_miasta_Neptuna: mały błąd ... to 7*x = 11 ... a nie 7*x + 11 = 0 czyli 7*x − 11 = 0 ... czyli 7*x + 8 = 0

Gustlik: Ralph wskazówka: elementy macierzy wpisuj do Excela, a potem kopiuj−wklej na stronę, będzie wyglądać tak: 7 2 11 13

Ralph: jakże to....? własnie szukamy takiego x, że 7*x+11=0 ,a o co kamano z tym po nwd?

b.: ,,znalezienie liczby która w tym przypadku pomnożona przez 7 i dodana do 11 w wyniku daje zero w tym ciele'' jak dla mnie to oznacza liczbę x taką, że 7x + 11 = 0 −− więc tak jak było jest moim zdaniem dobrze

Ralph: dzięki za wskazówke...zawsze sie zastanawialem nad tym własnie heh

b.: z tym po nwd to jest algorytm Euklidesa znajdowania nwd: https://pl.wikipedia.org/wiki/Algorytm_Euklidesa#Obliczanie_najwi.C4.99kszego_wsp.C3.B3lnego_dzielnika

Ralph: moim zdaniem też, tylko nie czaje operacji tutaj...1 = 5 − 2*2 = 5 − 2*(7−5) = 3*5 − 2*7 = 3*(19−2*7) − 2*7 = 3*19 − 8*7 i wynik chyba nietaki

b.: algorytm Euklidesa, oprócz tego, że pozwala znaleźć NWD(a,b), pozwala też znaleźć takie m,n, że NWD(a,b) = ma + nb a to pozwala znajdować odwrotności elementów np. w Z₁₉ −− żeby znaleźć odwrotność np. 7⁻¹, bierzemy a=19 i b=7...

Ralph: aha dzieki

Ralph: i teraz jak znajde tylko te l zjedynkami na przekatnej i u to od razu beda takie ze A=L*U

b.: > tylko nie czaje operacji tutaj...1 = 5 − 2*2 = 5 − 2*(7−5) = 3*5 − 2*7 = 3*(19−2*7) − 2*7 = 3*19 − 8*7 i wynik chyba nietaki na początku dzielę kolejno jak w algorytmie Euklidesa (to te 3 wiersze), a później piszę zaczynając od końca: 1 = 5 − 2*2 (z 3 wiersza wyliczam 1) teraz z drugiego wiersza wyliczam 2 = 7 − 1*5 = 7−5, i wstawiam to do poprzedniego: 1 = 5 − 2*(7−5) i otwieram nawiasy, tak zeby dostac coś razy 5 plus coś razy 7: 1 = 3*5 − 2*7 i dalej wyliczam z pierwszego wiersza 5 = 19−2*7 i wstawiam...

b.: jeśli chodzi o znajdowanie rozkładu LU, to szczerze mówiąc, nie mam z tym doświadczenia, może pomoże Ci ktoś inny możesz też próbować tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_LU

Ralph: śliczne dzięki

Ralph: nie no nie zgadza mi sie .....nasze x ma miec 88? czy tez w ciele czyli 12 tak czy siak nie zeruje...

b.: x=11 ⇒ 7x = 1 mod 19

Ralph: nie no 12 jednak zeruje. zrobilem 8*11=88 a w ciele 12.... dobra a jakbym chcial znaleźć 2⁻¹ w ciele Z₁₉ NWD(2,19) 19=9*2+1 2=2*1 NWD(2,19)=1 1=19−9*2 i co dalej ?

b.: ... = −9*2 = 10*2 −−> 2⁻¹ = 10

Ralph: ale skad ta dycha sie wziela własnie? sory to juz ostatnie pytanie hehe

b.: −9 = −9+19 = 10

b.: no i tu korzystamy z tego, że −(9*2) = (−9)*2

Ralph: jest to moze gdzies opisane jak robic? chcialbym znalezc a jakos nie mogę. Nadal jakos nie kumam z kigo sie diabla wzielo to 19 znowu heh

b.: chyba jestesmy w Z₁₉, czy nie? jeśli tak, to 19=0 (mod 19), −9=10 (mod 19)

b.: (w postach powyzej zapomnialem o dopisaniu (mod 19))