3 zadania - 2 dowody i konstrukcja Doriak: 1. W trójkącie ABC boki AB i BC są różnej długości. Wykazać, ze punkt przecięcia dwusiecznej kata przy wierzchołku B i symetralnej boku AC należy do okręgu opisanego na trójkącie ABC. 2. Dane są odcinki h, d, s. Skonstruować taki trójkąt ABC, aby długości: wysokości, dwusiecznej i środkowej poprowadzonych z wierzchołka A były równe odpowiednio h; d; s (przy założeniu, ze taki trójkąt istnieje). 3. Punkt S jest srodkiem okregu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC, a odcinek AD jest wysokoscia tego trójkąta. Wykazać, że <) BAD = <) SAC.

PW: Zadanie 1. Symetralna k odcinka AC jest osią symetrii okręgu, więc w symetrii o osi k obrazem trójkąta ACB jest trójkąt ACB' też wpisany w okrąg (A przeksztalci się na C i odwrotnie, B na B'). Połączmy B i B' z punktem D, w którym k przecina okrąg. Kąt DB'C jest równy katowi DBC (wpisane oparte na tym samym łuku DC). Kat DBA jest równy kątowi DB'A (oparte na tym samym łuku AD) kąt AB'D jest równy kątowi DBC (jeden jest obrazem drugiego w symetrii o osi k). Oznacza to, że wszystkie cztery kąty są równe, a więc DB jest dwusieczną kata ABC, co kończy dowód. Rysunek wykonaj samodzielnie, to będzie to wszystko widać.

Doriak: Sam już to zrobiłem. To jest dziecinnie proste prosta OD jest symetralną odcinka AC no to łuki AD oraz DC mają jednakową długość, zatem kąty wpisane ABD oraz DBC mają jednakową miarę czyli półprosta BD jest dwusieczną kąta ABC, a ponieważ kąt ma jedną dwusieczną − mamy co trzeba

PW: Tak, ale w programie szkolnym mówi się, że kąty wpisane oparte na t y m s a m y m łuku są równe. Na ogół nie mówi się o kątach wpisanych opartych na t a k i m s a m y m (przystającym) łuku. Chciałem tego uniknąć i przeprowadziłem dowód w tym szczególnym przypadku. Masz rację, ale "dziecinnie proste" to nie jest, bo ktoś może powiedzieć "nie było takiego twierdzenia na lekcjach".