zadanie z dowodem demo: Witam

	2x−1
"Korzystając z definicji funkcji rosnącej wykaż, że funkcja f(x)=		jest rosnąca w
	x

zbiorze R₊ " nie będę tego tak dokładnie opisywał. robiłem tak:

2x1−1		2x2−1		x2(2x1−1) − x1(2x2−1)
	−		=
x1		x2		x1x2

x₁x₂ na pewno będzie plusowe bo należą do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich i co dalej?

K: Można jeszcze coś uprościć, a konkretnie licznik.

loitzl9006:

2x−1

x+x−1

x

x

1

1

1

f(x) =

=

=

+

−

= 1 + 1 −

= 2 −

x

x

x

x

x

x

x

	1
teraz działaj z tymi x1 i x2, wszystko lepiej widać w takiej postaci f(x) = 2 −
	x

Mila: masz udowodnić, że, dla x₁<x₂ i x₁,x₂∊R₊ zachodzi: f(x₁)<f(x₂)⇔f(x₁)−f(x₂)<0 z założenia x₁−x₂<0

	x2(2x1−1)−x1(2x2−1)
f(x1)−f(x2)=		=
	x1*x2

	2x1x2−x2−2x1x2+x1		x1−x2
=		=		<0
	x1x2		x1x2

ponieważ x₁*x₂>0 i x₁−x₂<0 (zał)

Bogdan: założenie: x₂ − x₁ > 0 i x₁x₂ > 0

	2x2 − 1		2x1 − 1
Badamy znak nierówności: f(x2) − f(x1) =		−		=
	x2		x1

	2x1x2 − x1 − 2x1x2 + x2		x2 − x1
=		=		> 0
	x1x2		x1x2

bo z założenia x₂ − x₁ > 0 i x₁x₂ > 0 Jesli x₂ − x₁ > 0 i f(x₂) − f(x₁) > 0, to funkcja f(x) jest rosnąca w każdym z przedziałów: (−∞, 0), (0, +∞)