ciąg arytmetyczny tuśka: pierwszy i ostatni wyraz dwudziestowyrazowego ciągu arytmetycznego (a_n) są miejscami zerowymi funkcji g określonej wzorem g(x)=x²+2(m+1)x+m(m+2). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 100. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji g.

Klara: Pomagam

@Basia: Pomagam

tim: To która?

@Basia: No tu nie [pomagam. Klara była wcześniej.

Klara: S₂₀= 100

	a1 +a20
S20=		*20
	2

(a₁ +a₂₀)*10 = 100 /: 10 a₁ +a₂₀= 10 obliczamy miejsca zerowe q(x) Δ= 4(m+1)² −4*m(m+2) = 4 √Δ=2

	−2(m+1) +2
x1=
	2

	−2(m+1)−2
x2=
	2

x₁= − m x₂= −m −2 więc: − m − m −2 = 10 => −2m = 12 => m= −6 to miejsca zerowe są : x₁ = −(−6)= 6 x₂ = −(−6)−2 = 4

	x1 +x2
więc xw =		= 5
	2

zatem ramiona paraboli do góry , bo a>0 czyli g(x) maleje dla x€( −∞, 5> g(x) rosnie dla x€< 5,∞)

Klara: No, bo już myslałam ,że Basia nie pozwoli mi pomagać

patrycja: klara mam pytanie, orientujesz sie moze jak okreslasz monotonicznosc to jakie sa teraz wymogi bo slyszalam ze trzeba pilnowac by pierszy i drugi nawias ma byc wg standardow maturalnych taki sam, czyli tu np. nie x€< 5,∞) ,tylko x€( 5,∞). co o tym myslisz? jest w ogole cos takiego mozliwe? przeciez jakby nie bylo punkt (5,−1) tez nalezy do wykresu :?

tim: Uwaga! Przediały monotoniczności. Jeżeli normalne zawsze ( ) Jeżeli MAKSYMALNE zawsze < >

Klara: W/g mnie piszemy przedział domknięty

patrycja: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. ok

tuśka: dzięki super..nie mogłam to tego dojść

Klara: Co to znaczy "normalne" Timuś? a są jeszcze "nienormalne" ?

tim: No wiesz Klaro o co chodzi Jeżeli polecenie a) podaj przedziały monotoniczności (5,6) b) podaj MAKSYMALNE przedziały monotoniczności <5,6> CHYBA, ŻE przy 5 lub 6 będzie otwarte kółko xD Klaro, zmień nick proszę

Klara: Timuś ? ..... a na jaki nick

tim: Taki jak miałaś

Eta: OK....... zrobię to dla Ciebie

tim: Masz ze spacją? ^^ Oh, dziękuje! Nie mogłem się przyzwyczaić

@Basia: A moim zdaniem bezpieczniej otwarte. W punkcie 5 funkcja osiąga minimum. I sprawa załatwiona. Nie można się przyczepić. Tak piszemy badając monotoniczność przy pomocy pochodnych i ja bym się tego trzymała. Ale co CKE może do łba strzelić Bóg jeden wie. W każdym razie dyskusja na temat tego jakie mają być te nawiasy jest na tym samym poziomie co dyskusja na temat tego czy 0 jest czy nie jest liczbą naturalną. Jaki to poziom nie napiszę. Jakub musiałby wpis skasować.

tim: @Basiu, tak jak już napisałem, w liceum CKE przyjęło, tak jak napisałem wyżej

tim: Powtórzyłem dwa razy to samo

@Basia: No to chyba pierwszy raz zgodzę się z CKE. Chociaż nie do końca. Nie istnieje coś takiego jak "maksymalny przedział monotoniczności". To pojęcie kompletnie pozbawione sensu.

tim: http://www.zadania.info/2460268 Takie pojęcia się stosuje

@Basia: Wiem, że się stosuje. Tylko nie wiem kto to wymyślił. Bo to idiotyczne.

tim: Ale jak rozróżnić.. ?

Eta: Basiu! Nie wiem czy przypominasz sobie pierwsze moje zetknięcie z Naszym Bogdanem? Napisał mi wtedy ,( Ty to poparłaś że " powinnam poczytać pierwszy lepszy podręcznik dla liceów i technikum" Poczułam się wtedy niezbyt fajnie Nie bardzo wiem ?... czemu teraz masz inne zdanie na ten temat? Uważam ,że to kwestia .... umowy !

tim: Heh, zostałaś miło powitana . Tak jak przyjmujemy np. że duże H to wysokość figury przestrzennej

@Basia: W rachunku różniczkowym przyjmuje się, że: pochodna dodatnia ⇒ funkcja rośnie pochodna ujemna ⇒ funkcja maleje pochodna = 0 ⇒ funkcja osiąga extremum z tego zawsze dostaniemy przedziały otwarte + extremum w danym punkcie. Co wcale nie znaczy, że zapis f.maleje w przedziale (−∞;5> f.rośnie w przedziale <5;+∞) jest błędny. Jest również jak najbardziej poprawny. Uważam tylko, że tu w ogóle nie ma nad czym dyskutować. Z tej prostej przyczyny, że to (tak jak w przypadku 0∊ℕ lub 0∉ℕ) nie jest to kwestia wiedzy, a jedynie kwestia umowy.

tim: I wszystko gra

@Basia: Eta coś Ci się pokręciło. Twoją wymianę zdań z Bogdanem czytałam dopiero po fakcie. To po pierwsze. Po drugie nie uważam Twojego zapisu za błędny. Zastanawiam się tylko kto i po co wymyślił, że należy rozróżniać przedziały monotoniczności i maksymalne przedziały monotoniczności, bo to uważam za pozbawione sensu. I zastanawiałam się jak bezpieczniej pisać, żeby się CKE nie czepiało, a nie nad tym co jest poprawne, a co nie, bo patrz wyżej.....

Bogdan: Dobry wieczór Eto i Basiu. Klaro, do dzisiaj jest mi głupio z powodu tamtego tekstu. Były to moje początki na tym forum, nie znałem tu jeszcze nikogo i byłem święcie przekonany, że zwracam się do uczennicy liceum, stąd wynikła moja propozycja podręcznikowa. Nigdy nie ośmieliłbym się wyjechać z takim tekstem do osoby tak zasłużonej dla naszego forum. Pozdrawiam Was serdecznie.

Eta: Witam Bogdanie Powiedzcie mi jaki naprawdę powinien być ten zapis monotonicznośc Trzymam się tego co uzasadniałeś mi Bogdanie( i ...... jak w końcu ma wyglądać Waszym zdaniem ten zapis? Pozdrawiam

@Basia: Napisałam wyżej ! Moim zdaniem oba są jak najbardziej poprawne. Ale ponieważ CKE jest jaka jest należałoby chyba sprawdzić jak to jest w ich "wytycznych". Tylko znaleźć coś na ich stronie to sztuka wielka i ciężka praca. Jeżeli link, który podał Tim to link do oficjalnego arkusza CKE (sprawdzę za chwilę) to znaczyłoby, że chcą mieć domknięte.

@Basia: To nie jest oficjalny arkusz CKE. Czyli nadal nie wiem.

Eta: No właśnie, .........bo widzę ,że wszyscy o to pytają ?

Michał Szczotka: przedział monotoniczności według mojego nauczyciela to nawiasy nie mają znaczenia mogą być takie i takie

Eta: Witaj Michał! Jak maturka? Ja też tak uważam jak Twój ......... nauczyciel

@Basia: Twój nauczyciel ma 200% racji. Tylko czy tak samo myśli CKE ?

Michał Szczotka: Matura puki co idzie zgodnie z planem jutro najgorsza część polski ustny ale myślę że mój wrodzony dar do tak zwanego "lania wody" mnie uratuje

Bogdan: Weźmy jakąś funkcję mającą punkt przegięcia, np. f(x) = x³. Co można powiedzieć o monotoniczności tej funkcji. Wiemy, że f'(0) = 0. Jaki jest przedział monotoniczności tej funkcji. Mówimy, że zgodnie z definicją funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze A wtedy, gdy dla dowolnych liczb x₁, x₂ ∊ A z warunku x₂ − x₁ > 0 wynika f(x₂ − f(x₁) > 0 (f(x₂ − f(x₁) < 0). Niech np. będzie dana funkcja f(x) = x² oraz przedział A = <0, +∞). Bierzemy dwa dowolne punkty z tego przedziału, np.: x₁ = 0 i x₂ > 0. Widzimy, że x₂ − 0 > 0 oraz f(0) = 0² = 0 i f(x₂) = x₂² > 0 Badamy znak różnicy: f(x₂ − f(x₁) = x₂² − 0 = x₂² > 0. Różnica f(x₂ − f(x₁) jest dodatnia, a więc w zbiorze A = <0, +∞) funkcja jest rosnącą. Oczywiście badając analogiczną sytuację dla x ∊ (−∞, 0> ustalimy, że funkcja f(x) = x² jest malejąca. Punkt x = 0, w którym omawiana funkcja posiada ekstremum i gdzie f'(0) = 0, jest punktem należącym jednocześnie do przedziału, w którym ta funkcja jest rosnąca oraz do przedziału, w którym jest malejąca, czyli f jest rosnąca dla x ∊ <0, +∞), f jest malejąca dla x ∊ (−∞, 0>. Jestem zdania, że punkt, w którym funkcja posiada ekstremum i w otoczeniu którego jest ciągła, nie powinien być pomijany przy określaniu przedziałów monotoniczności. Definicja funkcji rosnącej i funkcji malejącej nie zawiera informacji o pochodnej funkcji. Myślę, że powinno się raczej mówić, że jeśli funkcja jest rosnąca (malejąca) w przedziale A, to w tym przedziale jej pierwsza pochodna jest dodatnia (ujemna), a nie, że jeśli jej pochodna w przedziale A jest dodatnia (ujemna), to funkcja jest tam rosnąca (malejąca).

@Basia: Znalazłam oficjalny schemat oceniania OKE Gdańsk, ale z 2005 roku. Tam są otwarte. W późniejszych oficjalnych jak na złość nigdzie nie ma monotoniczności. Nie wiem czy im się przez 4 lata nie "odwidziało"

@Basia: W tę stronę to nie "chodzi". rosnąca ⇒ pochodna dodatnia Sam podałeś kontrprzykład. f(x)=x³ jest rosnąca w (−∞;+∞) ale f'(x)=2x² nie jest tam stale >0 W drugą owszem. f'(x)>0 ⇒ f rośnie f'(x)<0 ⇒ f maleje (to jest udowodnione twierdzenie) Natomiast "chodzi" f rosnąca ⇒ f'≥0 f malejąca ⇒ f'≤0

Bogdan: Ja też w różnych publikacjach, w tym w różnych podręcznikach widziałem różne wersje opisywania przedziałów monotoniczności. Przedstawiłem wyżej swój pogląd na tę sprawę. Zgadzam się z Tobą Basiu, że jest to dyskusja podobna do rozważań o przynależności zera do liczb naturalnych.

Jakub: Witam! Przeglądnąłem standardy CKE z 2008r. (obowiązują też w 2009r.) i z 2010r. Wszędzie jest stosowane sformułowanie "maksymalne przedziały monotoniczności" i przykłady z domkniętymi przedziałami. Zdaje się w standardach z wcześniejszych lata po prostu pisali "przedziały monotoniczności" co powodowało wątpliwości co do tych nawiasów. Tak więc z punktu widzenia maturzysty nie ma problemu, dostanie zadanie ze sformułowaniem "maksymalne przedziały monotoniczności" i np. dla funkcji f(x)=x² powinien napisać: − maleje dla x∊(−∞,0> − rośnie dla x∊<0,∞) Tak to wygląda moim zdaniem z punktu widzenia CKE. Jeśli chodzi o moje zdanie to podpisuję się pod tym co napisał Bogdan. Jest to dokładnie to co sam myślę. Jeszcze jeden aspekt tego problemu. Mogłaby paść odpowiedź dla funkcji y=x² taka: − maleje dla x∊(−5,−1) − rośnie dla x∊(1,5) Niby prawda. No ale właśnie chodzi o maksymalne przedziały monotoniczności.