Równanie trygonometryczne loitzl9006: Mam takie równanie: sin 2x + cos x = 1 gdyby był sin x to wiem jak rozwiązać ale przy sin 2x już nie

	π
próbowałem wzoru na sinus podwojonego kąta, próbowałem też zapisać cos x jako sin(x+		) i
	2

potem na sumę sinusów ale to wydaje mi się że też niewiele daje:

	π
sin 2x + sin(x+		) = 1
	2

	3x		π		x		π
2sin(		+		) * cos (		−		) = 1
	2		4		2		4

ma ktoś pomysł?

Timmy: 2sinxcosx + cosx = 1 ⇔ cosx(2sinx + 1) = 1 Teraz weź pod uwagę zbiór wartości funkcji sinus i cosinus i zastanów się, kiedy iloraz tych dwóch wyrażeń może być równy 1

Timmy: iloczyn* oczywiście .__.

Timmy: Nie, w sumie to nie pójdzie. Nieważne.

Patronus: Może tak sin2x + cosx = 1 2sinxcosx + cosx− sin^x − cos²x = 0 sin²x − 2sinxcosx + cos²x − cosx = 0 (sinx−cosx)² − cosx = 0 ale nie widzę dalej...

ZKS: sin(2x) + cos(x) = 1 2sin(x)cos(x) + cos(x) = 1 cos(x)(2sin(x) + 1) = 1 cos(x) = 1 ∧ 2sin(x) + 1 = 1 ⇒ sin(x) = 0 x = k * 2π ∧ x = k * π x = k * 2π

Timmy: ZKS, jesteś pewien? Wiadomo, cos(x) ∊ <−1;1> , ale 2sin(x) + 1 ∊ <−1 ; 3> Wiec 1*1 to nie jest jedyna możliwa opcja.

Timmy: Chyba wiem. 2sinxcosx + cosx = 1 ⇔ cosx(2sinx + 1) = 1

	π
2sinx+1 jest zawsze dodatnie, więc aby równość zachodziła, to cosx > 0, czyli x ∊ (−		+
	2

	π
kπ;		+ kπ), gdzie k ∊ Z
	2

Jako, że cosx >0, to zarówno lewa jak i prawa strona są dodatnie ,więc podnieśmy do kwadratu. cos²x(4sin²x +4sinx + 1) = 1 ⇔ (1 − sin²x)(4sin²x +4sinx + 1) = 1 Niech sinx = t, t ∊<−1;1> (1−t²)(4t²+4t+1) = 1 ⇔ 4t² + 4t + 1 −4t⁴ − 4t³ − t² = 1 ⇔ −4t⁴ − 4t³ + 3t² +4t = 0 ⇔ 4t⁴ + 4t³ − 3t² − 4t = 0 ⇔ t(4t³ + 4t² − 3t − 4) = 0 Jednym rozwiązaniem jest sinx = 0, czyli x = kπ, a drugiego już mi się nie chce liczyć, wolfram pokazuje, że nic fajnego nie wyjdzie (jednak oblicza, że t ≈ 0.9, więc to też jest rozwiązanie, ale nieładne, więc stawiam na błąd w przykładzie).

Ajtek: Jak 2sinx+1 jest zawsze dodatnie

Timmy: No racja, w takim razie trzeba rozwiązać coś takiego: (cosx < 0 ⋀ 2sinx + 1 < 0) ⋁ (cosx > 0 ⋀ 2sinx + 1 > 0) i to będzie to, co wyjdzie, to wartości, dla ktorych ten iloczyn przyjmuje wartości dodatnie i można podnieść do kwadratu.

ZKS: Jeszcze pomyślę nad tym zadaniem.

Timmy: O tym, że w przykładem jest coś nie tak, świadczą wyniki z wolframa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin2x+%2B+cosx+%3D+1 W "Solutions", przełącz sobie na "Exact forms". Pierwsze rozwiązanie to oczywiście sinx = 0, drugie, to te 'dziwne' a pozostałe dwa to już dla liczb zespolonych.

ZKS: To zadanie jest licealne?

loitzl9006: dzięki Timmy za pomysł ZKS, ten przykład mam stąd: http://www.bc.ore.edu.pl/Content/229/Tom+6+Edukacja+matematyczna+i+techniczna.pdf strona 46 niby to ma się dać zrobić wzorami na sinus i cosinus sumy/różnicy, sumę/różnicę sinusów/cosinusów? Wg autorów podstawy programowej − tak, ale ja tego jakoś nie widzę.

Timmy: Myślę, że oni tylko 'tak sobie' to napisali, nie patrząc zbytnio na wyniki a na to, żeby podać przykład.

ZKS: Pewnie literówka tam jest i powinno być. sin(2x) + cos(2x) = 1

loitzl9006: pewnie tak, literówki wszędzie się zdarzają...

Trivial: Patrząc na rozwiązanie można się upewnić, że to jednak literówka. http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%282x%29+%2B+cos%28x%29+%3D+1