Rozwiąż nierówność (Pilne!)
luk: Wykaż, że:
jeśli a,b,c ∊ rzeczywistych i a≥b≥c to (a3−c3)/3 ≥ abc[(a−b)/c + (b−c)/a]
12 wrz 17:33
loitzl9006:
| a3−c3 | | a−b | | b−c | |
| ≥ abc( |
| + |
| ) |
| 3 | | c | | a | |
| a3−c3 | | a(a−b) + c(b−c) | |
| ≥ abc( |
| ) |
| 3 | | ac | |
| a3−c3 | | a2−ab + bc − c2 | |
| ≥ abc( |
| ) |
| 3 | | ac | |
| a3−c3 | |
| ≥ b(a2−ab + bc − c2) |
| 3 | |
a
3 − c
3 ≥ 3a
2b − 3ab
2 + 3b
2c − 3bc
2
a
3 − 3a
2b + 3ab
2 − c
3 ≥ 3b
2c − 3bc
2
zauważamy, że po lewej jest "prawie" sześcian różnicy a−b, brakuje tylko −b
3
a
3 − 3a
2b + 3ab
2 − b
3 + b
3 − c
3 ≥ 3b
2c − 3bc
2
(a−b)
3 + b
3 −3b
2c + 3bc
2 − c
3 ≥ 0
(a−b)
3 + (b−c)
3 ≥ 0
ponieważ a≥b≥c, to zarówno różnica a−b, jak i b−c jest nieujemna, to suma sześcianów liczb
nieujemnych jest liczbą nieujemną.
12 wrz 18:01
luk: ok wielkie dzieki za pomoc
12 wrz 18:26