Środek okręgu Bogdan: Witam, Jak wyznaczyć współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A(0,0), B(1,0), C(a,b) ?

PW: Środek okręgu należy do symetralnych wszystkich trzech boków. Tu wyjątkowo łatwo można napisać równanie symetralnej boku AB: jest to prosta prostopadła do AB, czyli do osi OX, przechodząca przez środek odcinka AB, czyli punkt

	!
M(		.0).
	2

	1		1
Ma ona równanie x=		. Innymi słowy szukany środek okręgu to punkt S(		,y).
	2		2

Trzeba dobrać tak liczbę y, aby odległości |SA| i |SC| były jednakowe (trzecia odległość |SB| jest taka sama jak |SA|, bo S należy do symetralnej). Musi być więc

	1		1
(0−		)2 + (0−y)2 = (a−		)2 + (b−y)2
	2		2

	1		1
		+ y2 = a2 − a +		+ b2 −2by + y2
	4		4

2by = a² − a + b²

	a2 − a + b2
y =
	2b

	1		a2 − a + b2
Odp. S(		,		).
	2		2b

Ale rachunki sprawdź, bo lubię się mylić (matematyk to taki, co mówi A, pisze B, a w ogóle to powinno być C).

PW: Oczywiście dzielenie przez b można wykonać, bo gdyby b=0, to A, B, C leżałyby wszystkie na osi OX (czyli nie tworzyłyby trójkąta).

Bogdan: Można również imienniku skorzystać z równania ogólnego okręgu: x² + y² + Ax + By + C = 0 dla A(0, 0): C = 0 dla B(1, 0): 1 + A + C = 0 ⇒ 1 + A = 0 ⇒ A = −1 dla C(a, b): a² + b² + A*a + B*b + C = 0 ⇒ a² + b² − a + B*b = 0

	−a2 − b2 + a
B =
	b

Równanie okręgu:

	−a2 − b2 + a
x2 + y2 −x +		y = 0
	b

Środek okręgu S(x_S, y_S):

	−A		1		−B		a2 + b2 − a
xS =		=		; yS =		=
	2		2		2		2b