matematyka dyskretna m.: help plz, 1.Wykorzystując zasadę indukcji pokazać czy 512⁴680 − 512¹560 jest wielokrotnością liczby 6 2.Wykorzystując zasadę indukcji pokazać 2ⁿ−1 < n! dla neN 3. A= (x ∊ N : |x+1|≤4), B={(x,y) ∊ N² : 3 < |x+y| ≤ 6 ) Oblicz liczbe elementow zbioru A x B

Patronus: 2. 1^o dla n=1 2¹ − 1 = 1 Nierówność nie jest spełniona dla każdej liczby n∊N

m.: a umiałby ktoś rozpisac w 3 zadaniu zbiór B? za 3 h kolokwium a jeszcze tego n rozumiem do konca

m.: up

Trivial: 3. Z pomocą przychodzi Haskell! Prelude> let nat = [0..1000] Prelude> let a = [ x | x <− nat, x+1 <= 4 ] Prelude> let b = [ (x,y) | x <− nat, y <− nat, 3<(x+y) && (x+y)<=6 ] Prelude> let result = [ (x,y) | x <− a, y <− b ] Prelude> a [0,1,2,3] Prelude> b [(0,4),(0,5),(0,6),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),( 4,1),(4,2),(5,0),(5,1),(6,0)] Prelude> result [(0,(0,4)),(0,(0,5)),(0,(0,6)),(0,(1,3)),(0,(1,4)),(0,(1,5)),(0,(2,2)),(0,(2,3)) ,(0,(2,4)),(0,(3,1)),(0,(3,2)),(0,(3,3)),(0,(4,0)),(0,(4,1)),(0,(4,2)),(0,(5,0)) ,(0,(5,1)),(0,(6,0)),(1,(0,4)),(1,(0,5)),(1,(0,6)),(1,(1,3)),(1,(1,4)),(1,(1,5)) ,(1,(2,2)),(1,(2,3)),(1,(2,4)),(1,(3,1)),(1,(3,2)),(1,(3,3)),(1,(4,0)),(1,(4,1)) ,(1,(4,2)),(1,(5,0)),(1,(5,1)),(1,(6,0)),(2,(0,4)),(2,(0,5)),(2,(0,6)),(2,(1,3)) ,(2,(1,4)),(2,(1,5)),(2,(2,2)),(2,(2,3)),(2,(2,4)),(2,(3,1)),(2,(3,2)),(2,(3,3)) ,(2,(4,0)),(2,(4,1)),(2,(4,2)),(2,(5,0)),(2,(5,1)),(2,(6,0)),(3,(0,4)),(3,(0,5)) ,(3,(0,6)),(3,(1,3)),(3,(1,4)),(3,(1,5)),(3,(2,2)),(3,(2,3)),(3,(2,4)),(3,(3,1)) ,(3,(3,2)),(3,(3,3)),(3,(4,0)),(3,(4,1)),(3,(4,2)),(3,(5,0)),(3,(5,1)),(3,(6,0)) ] Prelude> length result 72

m.: ok, mi wyszlo troche mniej, ale nie uwzglednilem 0 jako liczby ∊ N dzieki

Trivial: Wersja bez zera. Prelude> let nat = [1..1000] Prelude> let a = [ x | x <− nat, x+1 <= 4 ] Prelude> let b = [ (x,y) | x <− nat, y <− nat, 3<(x+y) && (x+y)<=6 ] Prelude> let result = [ (x,y) | x <− a, y <− b ] Prelude> a [1,2,3] Prelude> b [(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)] Prelude> result [(1,(1,3)),(1,(1,4)),(1,(1,5)),(1,(2,2)),(1,(2,3)),(1,(2,4)),(1,(3,1)),(1,(3,2)) ,(1,(3,3)),(1,(4,1)),(1,(4,2)),(1,(5,1)),(2,(1,3)),(2,(1,4)),(2,(1,5)),(2,(2,2)) ,(2,(2,3)),(2,(2,4)),(2,(3,1)),(2,(3,2)),(2,(3,3)),(2,(4,1)),(2,(4,2)),(2,(5,1)) ,(3,(1,3)),(3,(1,4)),(3,(1,5)),(3,(2,2)),(3,(2,3)),(3,(2,4)),(3,(3,1)),(3,(3,2)) ,(3,(3,3)),(3,(4,1)),(3,(4,2)),(3,(5,1))] Prelude> length result 36

Trivial: A jeśli chodzi o drugie, to można pokazać, że to jest spełnione dla n ≥ 4 2ⁿ−1 < n! 1. n = 4: 16−1 < 24 OK 2. n ≥ 4: 2ⁿ⁺¹−1 = 2*2ⁿ−1 = 2*(2ⁿ−1)+1 <^ind. 2*n!+1 < n*n!+n! = n!*(n+1) = (n+1)! OK

m.: a skad to przeksztalcenie 2*(2n−1)+1 <ind. 2*n!+1 bo nie rozumiem

Trivial: Zakładamy indukcyjnie, że 2ⁿ−1 < n!, czyli także 2*(2ⁿ−1)+1 < 2*n!+1

m.: dzięki